Diketahui titik M adalah titik pusat persegi ABCD . Jika

Vektor AB = 1/2 u - v

Pembahasan

Diketahui:
Titik M adalah titik pusat persegi ABCD.
Panah AC = u
Panah MD = v

Kita perlu mencari vektor AB.

Dalam sebuah persegi ABCD, titik pusat M adalah perpotongan diagonal AC dan BD. Diagonal-diagonal persegi saling membagi dua sama panjang dan tegak lurus.

1.  **Hubungan antara diagonal dan sisi:**
    Misalkan panjang sisi persegi adalah s. Maka panjang diagonal AC = BD = s√2.
    Karena M adalah titik pusat, maka AM = MC = BM = MD = (s√2)/2.

2.  **Vektor diagonal AC dalam bentuk vektor basis:**
    Jika kita menganggap A sebagai titik pangkal (0,0), maka C dapat dinyatakan sebagai vektor AC. Misalkan vektor AB = x dan vektor AD = y.
    Dalam persegi, vektor AB tegak lurus dengan vektor AD, dan panjangnya sama.
    Vektor AC = Vektor AB + Vektor BC = Vektor AB + Vektor AD = x + y.
    Jadi, u = x + y.

3.  **Vektor MD dalam bentuk vektor basis:**
    Titik M adalah titik tengah AC. Vektor AM = 1/2 * Vektor AC = 1/2 * u.
    Titik D dapat dinyatakan relatif terhadap M. Vektor MD adalah vektor dari M ke D.
    Dalam persegi, titik M juga merupakan titik tengah diagonal BD. Jadi, Vektor MD = 1/2 * Vektor BD.
    Vektor BD = Vektor BA + Vektor AD = -Vektor AB + Vektor AD = -x + y.
    Jadi, v = MD = 1/2 * (-x + y).
    2v = -x + y

4.  **Menyelesaikan sistem persamaan vektor:**
    Kita punya dua persamaan:
    (1) u = x + y
    (2) 2v = -x + y

    Kita ingin mencari x (yaitu vektor AB).
    Tambahkan persamaan (1) dan (2):
    u + 2v = (x + y) + (-x + y)
    u + 2v = 2y
    y = (u + 2v) / 2

    Kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1):
    u - 2v = (x + y) - (-x + y)
    u - 2v = x + y + x - y
    u - 2v = 2x
    x = (u - 2v) / 2

    Jadi, vektor AB = x = (u - 2v) / 2.
    Vektor AB = 1/2 u - v.