Diketahui titik-titik A(1,3,-2), B(3,2,5), dan C(4,2,-2).

(7 * sqrt(15)) / 90

Pembahasan

Untuk mencari kosinus sudut antara vektor AB dan vektor AC, kita perlu menghitung vektor AB dan vektor AC terlebih dahulu, kemudian menggunakan rumus dot product.

1. Hitung vektor AB:
   Vektor AB = B - A = (3-1, 2-3, 5-(-2)) = (2, -1, 7)

2. Hitung vektor AC:
   Vektor AC = C - A = (4-1, 2-3, -2-(-2)) = (3, -1, 0)

3. Gunakan rumus dot product:
   A · B = |A| |B| cos(θ)
   cos(θ) = (A · B) / (|A| |B|)

   Hitung dot product AB · AC:
   AB · AC = (2 * 3) + (-1 * -1) + (7 * 0) = 6 + 1 + 0 = 7

   Hitung magnitudo vektor AB (|AB|):
   |AB| = sqrt(2^2 + (-1)^2 + 7^2) = sqrt(4 + 1 + 49) = sqrt(54)

   Hitung magnitudo vektor AC (|AC|):
   |AC| = sqrt(3^2 + (-1)^2 + 0^2) = sqrt(9 + 1 + 0) = sqrt(10)

   Hitung kosinus sudut (θ):
   cos(θ) = 7 / (sqrt(54) * sqrt(10))
   cos(θ) = 7 / sqrt(540)

   Sederhanakan sqrt(540):
   sqrt(540) = sqrt(36 * 15) = 6 * sqrt(15)

   cos(θ) = 7 / (6 * sqrt(15))

   Untuk merasionalkan penyebut, kalikan pembilang dan penyebut dengan sqrt(15):
   cos(θ) = (7 * sqrt(15)) / (6 * sqrt(15) * sqrt(15))
   cos(θ) = (7 * sqrt(15)) / (6 * 15)
   cos(θ) = (7 * sqrt(15)) / 90

Jadi, kosinus sudut antara vektor AB dan vektor AC adalah (7 * sqrt(15)) / 90.