Diketahui vektor a=(-4 2 -2) dan vektor b=(-3 3 0)

a. 30°, b. 3√2, c. (-3, 3, 0)

Pembahasan

Diketahui vektor $a = (-4, 2, -2)$ dan vektor $b = (-3, 3, 0)$.

a. Besar sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b:
Rumus sudut antara dua vektor adalah $\cos \theta = \frac{a \cdot b}{|a| |b|}$.

Hitung hasil kali titik (dot product) a · b:
$a \cdot b = (-4)(-3) + (2)(3) + (-2)(0) = 12 + 6 + 0 = 18$

Hitung besar vektor |a|:
$|a| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

Hitung besar vektor |b|:
$|b| = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$

Hitung cos θ:
$\cos \theta = \frac{18}{(2\sqrt{6})(3\sqrt{2})} = \frac{18}{6\sqrt{12}} = \frac{18}{6 \cdot 2\sqrt{3}} = \frac{18}{12\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$	heta = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ$

Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh vektor a dan vektor b adalah 30°.

b. Proyeksi skalar ortogonal a pada b:
Rumus proyeksi skalar ortogonal a pada b adalah $\frac{a \cdot b}{|b|}$.
Proyeksi skalar = $\frac{18}{3\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

Jadi, proyeksi skalar ortogonal a pada b adalah $3\sqrt{2}$.

c. Proyeksi vektor ortogonal a pada b:
Rumus proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah $(\frac{a \cdot b}{|b|^2}) b$.
$|b|^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$

Proyeksi vektor = $(\frac{18}{18}) b = 1 \cdot b = b$

Proyeksi vektor = $(-3, 3, 0)$

Jadi, proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah vektor b itu sendiri, yaitu (-3, 3, 0).