Diketahui vektor-vektor u=9i+bj+ak dan vektor v=ai+aj-bk.

$4\sqrt{2}$

Pembahasan

Diketahui vektor $\vec{u} = 9\hat{i} + b\hat{j} + a\hat{k}$ dan vektor $\vec{v} = a\hat{i} + a\hat{j} - b\hat{k}$. Sudut antara $\vec{u}$ dan $\vec{v}$ adalah $\theta$ dengan $\cos \theta = \frac{6}{11}$. Proyeksi vektor $\vec{u}$ pada vektor $\vec{v}$ adalah $\vec{p} = 4\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$.

Proyeksi vektor $\vec{u}$ pada $\vec{v}$ diberikan oleh rumus:
$\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v}$

Kita tahu $\vec{p} = 4\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$.
Kita juga tahu $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos \theta$.

Dari rumus proyeksi, kita bisa menulis:
$4\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} (a\hat{i} + a\hat{j} - b\hat{k})$

Ini berarti vektor $(4, 4, -2)$ adalah kelipatan skalar dari vektor $(a, a, -b)$.
Jadi, $(4, 4, -2) = k(a, a, -b)$ untuk suatu skalar $k$.
Dari komponen $\hat{i}$: $4 = ka 
$Dari komponen $\hat{j}$: $4 = ka 
$Dari komponen $\hat{k}$: $-2 = -kb 
$ -> $2 = kb$

Dari sini kita dapatkan $k = \frac{4}{a}$ dan $k = \frac{2}{b}$.
Maka, $\frac{4}{a} = \frac{2}{b}$, yang menyiratkan $4b = 2a$, atau $a = 2b$.

Sekarang kita hitung $\vec{u} \cdot \vec{v}$:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (9)(a) + (b)(a) + (a)(-b) = 9a + ab - ab = 9a$.

Dan $|\vec{v}|^2 = a^2 + a^2 + (-b)^2 = 2a^2 + b^2$.

Substitusikan ke dalam rumus proyeksi:
$4\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k} = \frac{9a}{2a^2 + b^2} (a\hat{i} + a\hat{j} - b\hat{k})$

Dari komponen $\hat{i}$: $4 = \frac{9a^2}{2a^2 + b^2}$
$4(2a^2 + b^2) = 9a^2$
$8a^2 + 4b^2 = 9a^2$
$4b^2 = a^2$
$a = \pm 2b$.

Kita sudah mendapatkan hubungan $a=2b$. Ini konsisten dengan $a^2 = 4b^2$.

Sekarang gunakan informasi $\cos \theta = \frac{6}{11}$.
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$
$\frac{6}{11} = \frac{9a}{\sqrt{9^2 + b^2 + a^2} \sqrt{a^2 + a^2 + (-b)^2}}$
$\frac{6}{11} = \frac{9a}{\sqrt{81 + b^2 + a^2} \sqrt{2a^2 + b^2}}$

Ganti $a=2b$ ke dalam persamaan ini:
$\frac{6}{11} = \frac{9(2b)}{\sqrt{81 + b^2 + (2b)^2} \sqrt{2(2b)^2 + b^2}}$
$\frac{6}{11} = \frac{18b}{\sqrt{81 + b^2 + 4b^2} \sqrt{2(4b^2) + b^2}}$
$\frac{6}{11} = \frac{18b}{\sqrt{81 + 5b^2} \sqrt{8b^2 + b^2}}$
$\frac{6}{11} = \frac{18b}{\sqrt{81 + 5b^2} \sqrt{9b^2}}$
$\frac{6}{11} = \frac{18b}{\sqrt{81 + 5b^2} (3|b|)}$

Asumsikan $b > 0$, maka $|b|=b$.
$\frac{6}{11} = \frac{18b}{3b\sqrt{81 + 5b^2}}$
$\frac{6}{11} = \frac{6}{\sqrt{81 + 5b^2}}$

$11 = \sqrt{81 + 5b^2}$
$11^2 = 81 + 5b^2$
$121 = 81 + 5b^2$
$121 - 81 = 5b^2$
$40 = 5b^2$
$b^2 = 8$
$b = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Karena $a = 2b$, maka $a = 2(2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$.

Jika kita memilih $a=-2b$, maka $a$ dan $b$ akan memiliki tanda yang berlawanan. Mari kita periksa kembali:
Jika $a=-2b$, maka $\vec{v} = -2b\hat{i} -2b\hat{j} -b\hat{k}$.
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 9(-2b) + b(-2b) + (-2b)(-b) = -18b - 2b^2 + 2b^2 = -18b$.
$|\vec{v}|^2 = (-2b)^2 + (-2b)^2 + (-b)^2 = 4b^2 + 4b^2 + b^2 = 9b^2$.
$\vec{p} = \frac{-18b}{9b^2} (-2b\hat{i} -2b\hat{j} -b\hat{k}) = \frac{-2}{b} (-2b\hat{i} -2b\hat{j} -b\hat{k}) = 4\hat{i} + 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
Ini tidak cocok dengan $\vec{p} = 4\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$.

Jadi, kita harus menggunakan $a=2b$. Nilai $a = 4\sqrt{2}$.

Mari kita cek ulang perhitungan dengan $a=4\sqrt{2}$ dan $b=2\sqrt{2}$.
$\vec{u} = 9\hat{i} + 2\sqrt{2}\hat{j} + 4\sqrt{2}\hat{k}$
$\vec{v} = 4\sqrt{2}\hat{i} + 4\sqrt{2}\hat{j} - 2\sqrt{2}\hat{k}$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (9)(4\sqrt{2}) + (2\sqrt{2})(4\sqrt{2}) + (4\sqrt{2})(-2\sqrt{2}) = 36\sqrt{2} + 16 - 16 = 36\sqrt{2}$.
$|\vec{v}|^2 = (4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 + (-2\sqrt{2})^2 = (16 \times 2) + (16 \times 2) + (4 \times 2) = 32 + 32 + 8 = 72$.
$\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v} = \frac{36\sqrt{2}}{72} (4\sqrt{2}\hat{i} + 4\sqrt{2}\hat{j} - 2\sqrt{2}\hat{k}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (4\sqrt{2}\hat{i} + 4\sqrt{2}\hat{j} - 2\sqrt{2}\hat{k})$
$\vec{p} = (\frac{\sqrt{2}}{2} \times 4\sqrt{2})\hat{i} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \times 4\sqrt{2})\hat{j} + (\frac{\sqrt{2}}{2} \times -2\sqrt{2})\hat{k}$
$\vec{p} = (2 \times 2)\hat{i} + (2 \times 2)\hat{j} + (2 \times -1)\hat{k} = 4\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$.
Ini cocok dengan $\vec{p}$ yang diberikan.

Sekarang cek $\cos \theta = \frac{6}{11}$.
$\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}$
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 36\sqrt{2}$.
$|\vec{v}|^2 = 72 
-> |\vec{v}| = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.
$|\vec{u}|^2 = 9^2 + b^2 + a^2 = 81 + (2\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = 81 + 8 + 32 = 121$.
$|\vec{u}| = \sqrt{121} = 11$.
$\cos \theta = \frac{36\sqrt{2}}{11 \times 6\sqrt{2}} = \frac{36\sqrt{2}}{66\sqrt{2}} = \frac{36}{66} = \frac{6}{11}$.
Ini juga cocok.

Jadi, nilai $a = 4\sqrt{2}$.