Sebuah pabrik mempunyai dua jenis mesin untuk memproduksi

a. Rp640.000,00; b. 280 unit; c. Minimum 220 unit, Maksimum 260 unit

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, kita perlu merumuskan masalah ke dalam bentuk model matematika (pertidaksamaan linear) terlebih dahulu.

Misalkan:
x = lama operasi mesin I (dalam jam)
y = lama operasi mesin II (dalam jam)

Informasi yang diberikan:
1. Produksi minimal 220 unit/hari:
   Mesin I: 10 unit/jam
   Mesin II: 20 unit/jam
   Model: 10x + 20y >= 220  atau disederhanakan menjadi x + 2y >= 22

2. Waktu operasi kedua mesin tidak melebihi 18 jam/hari:
   Model: x + y <= 18

3. Selisih lama operasi mesin I dan II tidak lebih dari 2 jam, dan mesin II lebih lama beroperasi daripada mesin I:
   Model: y - x <= 2

4. Kendala non-negatif:
   Model: x >= 0, y >= 0

Biaya pengoperasian:
Mesin I: Rp40.000/hari
Mesin II: Rp50.000/hari
Fungsi tujuan (biaya total): Z = 40.000x + 50.000y

a. Biaya minimum pengoperasian kedua mesin per hari:
Kita perlu mencari nilai minimum dari Z dengan meminimalkan fungsi tujuan pada daerah penyelesaian yang dibentuk oleh pertidaksamaan di atas. Titik-titik pojok daerah penyelesaian perlu dicari terlebih dahulu dengan metode grafik atau substitusi/eliminasi.

Titik potong:
   - x + 2y = 22 dan x + y = 18  => (y=4, x=14)
   - x + y = 18 dan y - x = 2   => (y=10, x=8)
   - x + 2y = 22 dan y - x = 2   => (y=24/3=8, x=6)

Titik pojok yang mungkin adalah (14, 4), (8, 10), (6, 8).
Substitusikan ke Z = 40.000x + 50.000y:
   - Z(14, 4) = 40.000(14) + 50.000(4) = 560.000 + 200.000 = 760.000
   - Z(8, 10) = 40.000(8) + 50.000(10) = 320.000 + 500.000 = 820.000
   - Z(6, 8) = 40.000(6) + 50.000(8) = 240.000 + 400.000 = 640.000

Biaya minimum adalah Rp640.000,00 (dengan x=6 jam, y=8 jam).

b. Jumlah barang maksimum yang diproduksi pabrik per hari:
Fungsi produksi P = 10x + 20y. Kita perlu mencari nilai maksimum dari P pada daerah penyelesaian.
   - P(14, 4) = 10(14) + 20(4) = 140 + 80 = 220
   - P(8, 10) = 10(8) + 20(10) = 80 + 200 = 280
   - P(6, 8) = 10(6) + 20(8) = 60 + 160 = 220

Jumlah barang maksimum adalah 280 unit (dengan x=8 jam, y=10 jam).

c. Jika mesin I dioperasikan selama 10 jam per hari, berapa jumlah minimum dan maksimum barang yang diproduksi pabrik?
Jika x = 10, kita perlu mencari nilai y yang memenuhi pertidaksamaan:
   - 10 + 2y >= 22 => 2y >= 12 => y >= 6
   - 10 + y <= 18 => y <= 8
   - y - 10 <= 2 => y <= 12
   - y >= 0

Jadi, nilai y yang memenuhi adalah 6 <= y <= 8.

Jumlah barang P = 10x + 20y = 10(10) + 20y = 100 + 20y.
   - Minimum P terjadi saat y minimum (y=6): P = 100 + 20(6) = 100 + 120 = 220 unit.
   - Maksimum P terjadi saat y maksimum (y=8): P = 100 + 20(8) = 100 + 160 = 260 unit.

Jumlah minimum barang adalah 220 unit, dan jumlah maksimum barang adalah 260 unit.