Diketahui x1, x2, dan x3 merupakan akar-akar suatu

a. Persamaan polinomialnya adalah x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0. b. Akar-akarnya adalah 1, 3, dan -2.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan polinomial dari akar-akarnya, kita dapat menggunakan hubungan antara akar-akar polinomial dan koefisiennya. Jika x1, x2, dan x3 adalah akar-akar dari polinomial berderajat tiga, maka persamaan polinomialnya dapat ditulis dalam bentuk:
x^3 - (x1+x2+x3)x^2 + (x1x2+x1x3+x2x3)x - (x1x2x3) = 0

Diketahui:
x1+x2+x3 = 2
x1x2+x1x3+x2x3 = -5
x1x2x3 = -6

a. Menentukan persamaan polinomial:
Substitusikan nilai-nilai yang diketahui ke dalam bentuk umum persamaan polinomial:
x^3 - (2)x^2 + (-5)x - (-6) = 0
x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0

Jadi, persamaan polinomialnya adalah x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0.

b. Menentukan akar-akar persamaan polinomial:
Untuk menentukan akar-akar dari persamaan polinomial x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0, kita bisa mencoba mencari akar-akar rasional menggunakan Teorema Akar Rasional. Teorema ini menyatakan bahwa jika ada akar rasional p/q (dalam bentuk paling sederhana), maka p harus merupakan faktor dari konstanta (6) dan q harus merupakan faktor dari koefisien utama (1).

Faktor dari konstanta (6): ±1, ±2, ±3, ±6
Faktor dari koefisien utama (1): ±1

Kemungkinan akar rasional (p/q): ±1, ±2, ±3, ±6

Sekarang kita uji nilai-nilai ini dengan mensubstitusikannya ke dalam persamaan:

Untuk x = 1:
(1)^3 - 2(1)^2 - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0. Jadi, x=1 adalah salah satu akar.

Karena x=1 adalah akar, maka (x-1) adalah faktor dari polinomial. Kita bisa menggunakan pembagian polinomial (sintetis atau bersusun) untuk menemukan faktor lainnya.

Menggunakan pembagian sintetis dengan akar 1:
   1 | 1  -2  -5   6
     |    1  -1  -6
     ----------------
       1  -1  -6   0

Hasil pembagiannya adalah polinomial kuadrat: x^2 - x - 6.

Sekarang kita cari akar-akar dari x^2 - x - 6 = 0 dengan memfaktorkannya:
(x - 3)(x + 2) = 0

Ini memberikan dua akar lagi:
x - 3 = 0  => x = 3
x + 2 = 0  => x = -2

Jadi, akar-akar persamaan polinomial tersebut adalah 1, 3, dan -2. Hal ini sesuai dengan informasi yang diberikan (x1+x2+x3 = 1+3+(-2) = 2; x1x2+x1x3+x2x3 = (1*3)+(1*-2)+(3*-2) = 3-2-6 = -5; x1x2x3 = 1*3*-2 = -6).

Kesimpulan:
a. Persamaan polinomialnya adalah x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0.
b. Akar-akar persamaan polinomial tersebut adalah 1, 3, dan -2.