Diketahui y = sin^2 (2t) dan x = sec (4t). Tentukan: dy/dx

Nilai dy/dx saat x = 3 adalah 1/18.

Pembahasan

Diberikan $y = \sin^2(2t)$ dan $x = \sec(4t)$. Kita perlu menentukan $dy/dx$ dan nilainya untuk $x = 3$.

Langkah 1: Cari $dy/dt$ dan $dx/dt$.
Untuk $y = \sin^2(2t) = (\sin(2t))^2$, gunakan aturan rantai:
$dy/dt = 2(\sin(2t)) * \cos(2t) * 2 = 4 \sin(2t) \cos(2t)$
Menggunakan identitas sudut ganda $2 \sin A \cos A = \sin(2A)$, kita dapat menyederhanakannya menjadi:
$dy/dt = 2 \sin(4t)$

Untuk $x = \sec(4t)$, gunakan aturan rantai:
$dx/dt = \sec(4t) \tan(4t) * 4 = 4 \sec(4t) \tan(4t)$

Langkah 2: Cari $dy/dx$ menggunakan rumus $dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)$.
$dy/dx = (2 \sin(4t)) / (4 \sec(4t) \tan(4t))$
$dy/dx = \sin(4t) / (2 \sec(4t) \tan(4t))$

Ubah $\sec$ dan $\tan$ ke dalam $\sin$ dan $\cos$:
$dy/dx = \sin(4t) / (2 * (1/\cos(4t)) * (\sin(4t)/\cos(4t)))$
$dy/dx = \sin(4t) / (2 \sin(4t) / \cos^2(4t))$
$dy/dx = \sin(4t) * (\cos^2(4t) / (2 \sin(4t)))$
$dy/dx = \cos^2(4t) / 2$
$dy/dx = (1/2) \cos^2(4t)$

Langkah 3: Tentukan nilai $dy/dx$ ketika $x = 3$.
Kita memiliki $x = \sec(4t) = 3$. Ini berarti $1/\cos(4t) = 3$, sehingga $\cos(4t) = 1/3$.
Sekarang substitusikan nilai $\cos(4t)$ ke dalam ekspresi $dy/dx$:
$dy/dx = (1/2) * (1/3)^2$
$dy/dx = (1/2) * (1/9)$
$dy/dx = 1/18$

Jadi, nilai $dy/dx$ untuk $x = 3$ adalah 1/18.