Elips dengan persamaan 4x^2 + 9y^2 = 36 digeser sejauh (-1

Persamaan bayangan elips adalah 9x^2 + 4y^2 + 18x - 16y - 11 = 0.

Pembahasan

Persamaan elips awal adalah 4x^2 + 9y^2 = 36. 

1. Penggeseran sejauh (-1, 2):
Substitusikan x dengan (x+1) dan y dengan (y-2) ke dalam persamaan elips:
4(x+1)^2 + 9(y-2)^2 = 36
4(x^2 + 2x + 1) + 9(y^2 - 4y + 4) = 36
4x^2 + 8x + 4 + 9y^2 - 36y + 36 = 36
4x^2 + 9y^2 + 8x - 36y + 4 = 0

2. Pemutaran sejauh pi/2 terhadap pusat P(-1, 2):
Rumus transformasi rotasi (x', y') sejauh $\theta$ terhadap pusat (h, k) adalah:
x' - h = (x - h)cos($\theta$) - (y - k)sin($\theta$)
y' - k = (x - h)sin($\theta$) + (y - k)cos($\theta$)

Dalam kasus ini, (x, y) adalah titik pada elips setelah digeser, (h, k) = (-1, 2), dan $\theta$ = pi/2.

x' - (-1) = (x - (-1))cos(pi/2) - (y - 2)sin(pi/2)
x' + 1 = (x + 1)(0) - (y - 2)(1)
x' + 1 = -(y - 2)
x' = -y + 2 - 1
x' = -y + 1 => y = 1 - x'

y' - 2 = (x - (-1))sin(pi/2) + (y - 2)cos(pi/2)
y' - 2 = (x + 1)(1) + (y - 2)(0)
y' - 2 = x + 1
y' = x + 3 => x = y' - 3

Sekarang substitusikan x = y' - 3 dan y = 1 - x' ke dalam persamaan elips setelah digeser (4x^2 + 9y^2 + 8x - 36y + 4 = 0):
4(y' - 3)^2 + 9(1 - x')^2 + 8(y' - 3) - 36(1 - x') + 4 = 0
4(y'^2 - 6y' + 9) + 9(1 - 2x' + x'^2) + 8y' - 24 - 36 + 36x' + 4 = 0
4y'^2 - 24y' + 36 + 9 - 18x' + 9x'^2 + 8y' - 24 - 36 + 36x' + 4 = 0
9x'^2 + 4y'^2 + (-18x' + 36x') + (-24y' + 8y') + (36 + 9 - 24 - 36 + 4) = 0
9x'^2 + 4y'^2 + 18x' - 16y' - 11 = 0

Jadi, persamaan bayangan elips tersebut adalah 9x^2 + 4y^2 + 18x - 16y - 11 = 0.