Find all the positive integers of n such that there are k

Satu-satunya bilangan bulat positif n yang memenuhi adalah n = 4.

Pembahasan

Problem ini menanyakan tentang eksistensi bilangan rasional positif $a_1, a_2, 	ext{...,} a_k$ dengan $k 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } 2$ yang memenuhi dua kondisi:
1. Jumlah: $a_1 + a_2 + 	ext{...} + a_k = n$
2. Hasil kali: $a_1 	imes a_2 	imes 	ext{...} 	imes a_k = n$
dengan $n$ adalah bilangan bulat positif.

Mari kita analisis beberapa kasus untuk $k$.

Kasus $k=2$: 
$a_1 + a_2 = n$
$a_1 	imes a_2 = n$
Dari persamaan kedua, $a_2 = n/a_1$. Substitusikan ke persamaan pertama:
$a_1 + n/a_1 = n$
$a_1^2 + n = n a_1$
$a_1^2 - n a_1 + n = 0$
Agar $a_1$ menjadi bilangan rasional, diskriminan dari persamaan kuadrat ini harus merupakan kuadrat dari bilangan rasional. Diskriminan $	ext{D} = (-n)^2 - 4(1)(n) = n^2 - 4n = n(n-4)$.
Agar $n(n-4)$ menjadi kuadrat sempurna, kita bisa uji beberapa nilai $n$.
Jika $n=1$, $D = 1(1-4) = -3$ (bukan kuadrat sempurna)
Jika $n=2$, $D = 2(2-4) = -4$ (bukan kuadrat sempurna)
Jika $n=3$, $D = 3(3-4) = -3$ (bukan kuadrat sempurna)
Jika $n=4$, $D = 4(4-4) = 0$ (kuadrat sempurna). Jika $n=4$, maka $a_1^2 - 4a_1 + 4 = 0 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } (a_1-2)^2 = 0 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } a_1 = 2$. Maka $a_2 = n/a_1 = 4/2 = 2$. Jadi untuk $n=4$, kita punya $a_1=2, a_2=2$ (k=2). $2+2=4$, $2*2=4$. Ini memenuhi syarat.
Jika $n > 4$, agar $n(n-4)$ menjadi kuadrat sempurna, misal $m^2$, maka $n^2 - 4n = m^2$. Kita tahu bahwa $(n-2)^2 = n^2 - 4n + 4$. Jadi $n^2 - 4n = (n-2)^2 - 4$. Agar $n(n-4)$ menjadi kuadrat sempurna, maka $(n-2)^2 - 4 = m^2$. $(n-2)^2 - m^2 = 4$. $(n-2-m)(n-2+m) = 4$. Karena $n$ bilangan bulat positif dan $m 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } 0$, maka $n-2+m 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } n-2-m$. Faktor-faktor dari 4 adalah (1,4), (2,2), (-1,-4), (-2,-2).
   - Kasus 1: $n-2-m = 1$ dan $n-2+m = 4$. Jumlahkan kedua persamaan: $2(n-2) = 5 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n-2 = 5/2 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n = 9/2$ (bukan bilangan bulat).
   - Kasus 2: $n-2-m = 2$ dan $n-2+m = 2$. Jumlahkan kedua persamaan: $2(n-2) = 4 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n-2 = 2 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n = 4$. Ini sudah kita temukan.
   - Kasus 3: $n-2-m = -4$ dan $n-2+m = -1$. Jumlahkan kedua persamaan: $2(n-2) = -5 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n-2 = -5/2 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n = -1/2$ (bukan bilangan bulat positif).
   - Kasus 4: $n-2-m = -2$ dan $n-2+m = -2$. Jumlahkan kedua persamaan: $2(n-2) = -4 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n-2 = -2 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n = 0$ (bukan bilangan bulat positif).
Jadi untuk $k=2$, hanya $n=4$ yang memenuhi.

Kasus $k 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } 3$: 
Misalkan kita pilih $a_1 = 1, a_2 = 1, 	ext{...,} a_{k-1} = 1$. 
Maka persamaan menjadi:
$1 + 1 + 	ext{...} + 1 	ext{ } (k-1 	ext{ kali}) + a_k = n 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } k-1 + a_k = n 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } a_k = n - (k-1)$

$1 	imes 1 	imes 	ext{...} 	imes 1 	ext{ } (k-1 	ext{ kali}) 	imes a_k = n 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } a_k = n$

Agar kedua kondisi terpenuhi, maka haruslah $n - (k-1) = n$. Ini berarti $-(k-1) = 0$, yang menyiratkan $k-1=0$ atau $k=1$. Namun, syaratnya adalah $k 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } 2$. Jadi konstruksi ini tidak bekerja.

Coba konstruksi lain. Misalkan kita ingin $a_1 + 	ext{...} + a_k = n$ dan $a_1 	imes 	ext{...} 	imes a_k = n$.
Kita bisa memilih $a_1 = n/x, a_2 = x, a_3 = 1, 	ext{...,} a_k = 1$. (dengan $k-2$ buah angka 1)
Jumlah: $n/x + x + (k-2) 	imes 1 = n$
$n/x + x + k - 2 = n$
$n/x + x = n - k + 2$

Hasil kali: $(n/x) 	imes x 	imes 1 	imes 	ext{...} 	imes 1 = n$
$n = n$. Kondisi hasil kali selalu terpenuhi dengan konstruksi ini.

Sekarang kita fokus pada kondisi jumlah: $n/x + x = n - k + 2$.
Agar $a_1 = n/x$ dan $a_2 = x$ menjadi bilangan rasional positif, $x$ haruslah bilangan rasional positif.

Mari kita lihat kembali $n=4$ dengan $k=2$: $a_1=2, a_2=2$. 

Bagaimana jika $n$ adalah bilangan bulat positif lainnya? 
Misalkan $n$ adalah sembarang bilangan bulat positif. Kita ingin mencari $k 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } 2$ dan bilangan rasional positif $a_i$ sehingga $	ext{sum}(a_i) = n$ dan $	ext{prod}(a_i) = n$.

Coba kita ambil $k=n$. 
Jika kita bisa memilih $a_1 = n, a_2 = 1, a_3 = 1, 	ext{...,} a_n = 1$. 
Jumlah: $n + 1 + 1 + 	ext{...} + 1 	ext{ } (n-1 	ext{ kali}) = n + (n-1) = 2n-1$. Ini harus sama dengan $n$. Maka $2n-1=n 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n=1$. Namun $n$ harus bilangan bulat positif, dan kita sudah menemukan $n=4$ bekerja untuk $k=2$. Jika $n=1$, maka $k 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } 2$. $a_1 + 	ext{...} + a_k = 1$. $a_1 	imes 	ext{...} 	imes a_k = 1$. Jika semua $a_i > 0$, maka $a_i$ harus sama dengan 1. Tapi jika $a_i=1$ untuk semua $i$, maka jumlahnya adalah $k$. Jadi $k=1$. Ini kontradiksi dengan $k 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } 2$. Jadi $n=1$ tidak mungkin.

Coba $k=n+1$. 
Kita bisa memilih $a_1 = n/2, a_2 = 2, a_3 = 1, 	ext{...,} a_{n+1} = 1$. (dengan $n-1$ buah angka 1)
Jumlah: $n/2 + 2 + (n-1) 	imes 1 = n/2 + 2 + n - 1 = n/2 + n + 1 = 3n/2 + 1$. Ini harus sama dengan $n$. $3n/2 + 1 = n 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n/2 = -1 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n = -2$. Tidak mungkin.

Coba kita set $a_1 = x, a_2 = y, a_3 = z, 	ext{...}$.
Kita perlu $x+y+z+... = n$ dan $xyz... = n$.

Perhatikan jika $n$ adalah bilangan bulat positif.
Kita dapat selalu memilih $k=n$. Dan kita bisa memilih $a_1 = 2, a_2 = n/2, a_3=1, a_4=1, ..., a_n=1$. (asumsi $n$ genap)
Jumlah: $2 + n/2 + (n-2) 	imes 1 = 2 + n/2 + n - 2 = 3n/2$. Ini harus sama dengan $n$. $3n/2 = n 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n/2 = 0 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n=0$. Tidak mungkin.

Mari kita gunakan ide dari soal yang mirip. Jika kita memiliki $k$ bilangan rasional positif $a_i$, $	ext{sum}(a_i) = n$ dan $	ext{prod}(a_i) = n$.
Untuk setiap $n 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } 4$, kita dapat memilih $k=n$. Dan kita bisa memilih $a_1 = 2, a_2 = n-2, a_3 = 1, 	ext{...,} a_n = 1$. Ini tidak akan bekerja.

Untuk setiap $n$ bilangan bulat positif, kita dapat memilih $k=2$. Dengan $a_1$ dan $a_2$ adalah akar dari $x^2 - nx + n = 0$. Ini hanya memiliki solusi rasional jika $n^2 - 4n$ adalah kuadrat sempurna. Kita sudah menunjukkan ini hanya terjadi untuk $n=4$.

Sekarang, pertimbangkan $n$ sembarang bilangan bulat positif. Kita bisa memilih $k = n$. 
Misalkan kita pilih $a_1 = n/m$, $a_2 = m$, $a_3 = 1, ..., a_k = 1$. (dengan $k-2$ buah angka 1)
Syarat jumlah: $n/m + m + k - 2 = n$.
Syarat hasil kali: $(n/m) 	imes m 	imes 1^{k-2} = n$. Ini selalu benar.
Jadi kita butuh $n/m + m = n - k + 2$.

Ambil $n$ sembarang bilangan bulat positif. 
Kita bisa memilih $k=n$. Maka $n/m + m = n - n + 2 = 2$. 
$n/m + m = 2$. $n + m^2 = 2m$. $m^2 - 2m + n = 0$. Agar $m$ rasional, diskriminan $D = (-2)^2 - 4(1)(n) = 4 - 4n$ harus kuadrat sempurna. Karena $n$ bilangan bulat positif, agar $4-4n$ $	ext{>=} 	ext{ } 0$, maka $4 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } 4n$, sehingga $1 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } n$. Jadi hanya $n=1$ yang mungkin. Tapi kita sudah eliminasi $n=1$. Jadi konstruksi ini tidak bekerja untuk $k=n$.

Bagaimana jika kita memilih $k=n+1$? 
Maka $n/m + m = n - (n+1) + 2 = 1$.
$n/m + m = 1$. $n + m^2 = m$. $m^2 - m + n = 0$. Diskriminan $D = (-1)^2 - 4(1)(n) = 1 - 4n$. Agar $D 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } 0$, maka $1 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } 4n$. Hanya $n=0$ yang mungkin, tapi $n$ harus positif. Jadi $k=n+1$ juga tidak bekerja.

Mari kita perhatikan $n=4$. $k=2$, $a_1=2, a_2=2$. Sum = 4, Prod = 4.

Apakah ada $n$ lain? 
Misalkan $n$ adalah bilangan bulat positif.
Kita perlu $a_1 + 	ext{...} + a_k = n$ dan $a_1 	imes 	ext{...} 	imes a_k = n$.

Coba $k=3$. $a_1+a_2+a_3 = n$, $a_1 a_2 a_3 = n$.
Misal $a_1 = x, a_2 = y, a_3 = n/(xy)$.
$x+y+n/(xy) = n$.
Ini persamaan yang sulit diselesaikan secara umum.

Perhatikan soal aslinya: Find all the positive integers of n such that there are k >= 2 positive rational numbers $a_1, a_2, ..., a_k$ satisfying $a_1 + a_2 + ... + a_k = n$ and $a_1 	imes a_2 	imes ... 	imes a_k = n$.

Kita sudah menemukan $n=4$ bekerja dengan $k=2$, yaitu $a_1=2, a_2=2$. Sum = 4, Product = 4.

Sekarang, mari kita coba membuktikan bahwa hanya $n=4$ yang memenuhi.

Kita tahu bahwa untuk bilangan rasional positif $a_1, 	ext{...,} a_k$, berdasarkan ketidaksamaan AM-GM:
$(a_1 + 	ext{...} + a_k)/k 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } (a_1 	imes 	ext{...} 	imes a_k)^{1/k}$
Substitusikan $a_1 + 	ext{...} + a_k = n$ dan $a_1 	imes 	ext{...} 	imes a_k = n$: 
$n/k 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } n^{1/k}$
$rac{n}{k} 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } n^{1/k}$
$rac{n^{1}}{k} 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } n^{1/k}$
$rac{n^{1 - 1/k}}{1} 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } k$
$n^{(k-1)/k} 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } k$

Jika kesamaan AM-GM berlaku, maka $a_1 = a_2 = 	ext{...} = a_k = a$. 
Maka $k 	imes a = n$ dan $a^k = n$. 
Dari $a = n/k$, substitusikan ke $a^k = n$: 
$(n/k)^k = n$
$n^k / k^k = n$
$n^{k-1} = k^k$
$(n^{(k-1)/k})^k = k^k$
$n^{(k-1)/k} = k$

Kita perlu mencari $n$ (bilangan bulat positif) dan $k 	ext{ } 	ext{>=} 	ext{ } 2$ sehingga $n^{(k-1)/k} = k$. 

Jika $k=2$: $n^{(2-1)/2} = 2 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n^{1/2} = 2 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n = 4$. Ini sesuai dengan yang kita temukan.

Jika $k=3$: $n^{(3-1)/3} = 3 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n^{2/3} = 3 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n = 3^{3/2} = 	ext{sqrt}(27)$ (bukan bilangan bulat).

Jika $k=4$: $n^{(4-1)/4} = 4 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n^{3/4} = 4 	ext{ } 	ext{ } 	ext{ } n = 4^{4/3} = (2^2)^{4/3} = 2^{8/3}$ (bukan bilangan bulat).

Secara umum, kita perlu $n = k^{k/(k-1)} = k^{1 + 1/(k-1)}$. Agar $n$ menjadi bilangan bulat, $k/(k-1)$ harus menghasilkan eksponen sehingga $k$ menjadi bilangan bulat. Atau, $k^{k/(k-1)}$ harus bilangan bulat.

Kita tahu bahwa $k/(k-1) = 1 + 1/(k-1)$. 
Jadi $n = k 	imes k^{1/(k-1)}$.
Agar $k^{1/(k-1)}$ menjadi rasional sedemikian rupa sehingga $k 	imes k^{1/(k-1)}$ adalah bilangan bulat, $k^{1/(k-1)}$ harus dalam bentuk $m/k$ di mana $m$ adalah bilangan bulat.
$k^{1/(k-1)} = m/k$
$k 	imes k^{1/(k-1)} = m$
$k^{1 + 1/(k-1)} = m$
$k^{k/(k-1)} = m$

Kita butuh $n = k^{k/(k-1)}$ menjadi bilangan bulat.
Misalkan $k-1 = d$. Maka $k = d+1$.
$n = (d+1)^{(d+1)/d} = (d+1)^{1 + 1/d} = (d+1) 	imes (d+1)^{1/d}$.
Agar $n$ menjadi bilangan bulat, $(d+1)^{1/d}$ harus sedemikian rupa sehingga hasilnya rasional dan ketika dikalikan $d+1$ menjadi bilangan bulat.

Jika $d=1$ (maka $k=2$): $n = (1+1) 	imes (1+1)^{1/1} = 2 	imes 2 = 4$. Ini memberikan $n=4$.
Jika $d=2$ (maka $k=3$): $n = (2+1) 	imes (2+1)^{1/2} = 3 	imes 	ext{sqrt}(3)$. Bukan bilangan bulat.
Jika $d=3$ (maka $k=4$): $n = (3+1) 	imes (3+1)^{1/3} = 4 	imes (4)^{1/3}$. Bukan bilangan bulat.
Jika $d=4$ (maka $k=5$): $n = (4+1) 	imes (4+1)^{1/4} = 5 	imes 5^{1/4}$. Bukan bilangan bulat.

Jika $d > 1$, agar $(d+1)^{1/d}$ menjadi rasional, maka $d+1$ haruslah merupakan pangkat ke-$d$ dari suatu bilangan rasional. Agar $(d+1)^{1/d}$ menghasilkan sesuatu yang