Fungsi y=f(x) yang memiliki turunan f'(x)=x^3 dan garis

f(x) = 1/4 x⁴ + 3/4

Pembahasan

Kita diberikan turunan fungsi f'(x) = x³ dan informasi bahwa garis singgung fungsi y=f(x) adalah x+y=0.

Langkah 1: Cari fungsi f(x) dengan mengintegralkan f'(x).
∫f'(x) dx = ∫x³ dx
f(x) = (1/4)x⁴ + C

Di mana C adalah konstanta integrasi.

Langkah 2: Gunakan informasi garis singgung untuk mencari nilai C.
Persamaan garis singgung adalah x + y = 0, yang dapat ditulis ulang sebagai y = -x.
Gradien garis singgung ini adalah -1.

Karena gradien garis singgung pada suatu titik adalah nilai turunan pada titik tersebut, kita punya:
f'(x) = -1
x³ = -1
x = -1

Sekarang kita cari nilai y pada titik singgung tersebut menggunakan persamaan garis singgung:
y = -x
y = -(-1)
y = 1

Jadi, titik singgungnya adalah (-1, 1).

Titik singgung (-1, 1) harus berada pada kurva fungsi f(x). Maka, kita substitusikan titik ini ke dalam persamaan f(x) = (1/4)x⁴ + C:
1 = (1/4)(-1)⁴ + C
1 = (1/4)(1) + C
1 = 1/4 + C
C = 1 - 1/4
C = 3/4

Langkah 3: Tuliskan fungsi f(x) yang lengkap.
f(x) = (1/4)x⁴ + 3/4

Jadi, fungsi y=f(x) yang memenuhi adalah f(x) = 1/4 x⁴ + 3/4.