Gambar berikut adalah jajargenjang ABCD. Tuliskan matriks

Komposisi dua translasi yang setara dengan translasi tunggal AC adalah penjumlahan matriks kedua translasi tersebut yang menghasilkan matriks translasi AC.

Pembahasan

Untuk jajargenjang ABCD, translasi dapat diartikan sebagai pergeseran setiap titik pada jajargenjang sejauh vektor tertentu. Jika kita ingin mencari komposisi dari dua translasi yang setara dengan satu translasi tunggal, kita perlu menjumlahkan vektor-vektor translasi tersebut.

Misalkan translasi pertama adalah T1 dengan vektor $\vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ dan translasi kedua adalah T2 dengan vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$.

Komposisi dari dua translasi ini, T2 setelah T1 (atau T1 setelah T2, karena translasi bersifat komutatif), adalah translasi tunggal T dengan vektor $\vec{w}$ yang merupakan hasil penjumlahan vektor T1 dan T2:
$\vec{w} = \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+c \\ b+d \end{pmatrix}$

Dalam konteks soal gambar jajargenjang ABCD dan translasi AC:
Jika translasi yang dimaksud adalah menggeser titik A ke C (yang merepresentasikan vektor $\vec{AC}$), maka matriks translasi tersebut adalah matriks yang elemennya adalah komponen vektor $\vec{AC}$.

Misalkan koordinat titik A adalah $(x_A, y_A)$ dan koordinat titik C adalah $(x_C, y_C)$. Maka vektor translasi $\vec{AC}$ adalah $\begin{pmatrix} x_C - x_A \\ y_C - y_A \end{pmatrix}$.

Matriks translasi untuk menggeser A ke C adalah $\begin{pmatrix} x_C - x_A \\ y_C - y_A \end{pmatrix}$.

Jika ada dua translasi T1 dan T2 yang setara dengan translasi tunggal $\vec{AC}$, maka:
Matriks translasi T1 + Matriks translasi T2 = Matriks translasi $\vec{AC}$
$\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_C - x_A \\ y_C - y_A \end{pmatrix}$

Contoh komposisi translasi yang mungkin:
1. Translasi T1 menggeser A ke titik P, dan translasi T2 menggeser P ke C. Maka vektor $\vec{AP} + \vec{PC} = \vec{AC}$.
2. Translasi T1 menggeser A ke titik Q, dan translasi T2 menggeser Q ke C. Maka vektor $\vec{AQ} + \vec{QC} = \vec{AC}$.

Secara umum, jika kita memiliki dua translasi dengan matriks translasi $\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}$ dan $\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix}$ yang jika dikomposisikan menghasilkan translasi tunggal yang sama dengan translasi AC, maka:
$a+c = x_C - x_A$
$b+d = y_C - y_A$