Garis bagi sudut A dalam segitiga ABC memotong sisi di

Dengan menerapkan aturan sinus pada segitiga ABD dan ACD, serta menggunakan sifat garis bagi sudut dan sudut berpelurus, dapat ditunjukkan bahwa x/y = c/b.

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa x/y = c/b menggunakan aturan sinus pada segitiga ABC, kita dapat menerapkan aturan sinus pada segitiga ABD dan segitiga ACD.

Aturan Sinus menyatakan bahwa dalam segitiga manapun, perbandingan antara panjang sisi dengan sinus sudut di hadapannya adalah konstan.

Pada segitiga ABD:
x / sin(∠BAD) = BD / sin(∠ADB)
Karena BD = x, maka:
x / sin(∠BAD) = x / sin(∠ADB)
Ini menyiratkan sin(∠BAD) = sin(∠ADB), yang tidak membantu kita secara langsung.

Mari kita terapkan aturan sinus dengan benar:
Pada segitiga ABD:
x / sin(∠BAD) = BD / sin(∠ABD) = AB / sin(∠ADB)
Substitusikan BD = x, AB = c:
x / sin(∠BAD) = x / sin(∠ABD) = c / sin(∠ADB)

Pada segitiga ACD:
y / sin(∠CAD) = CD / sin(∠ADC) = AC / sin(∠ACD)
Substitusikan CD = y, AC = b:
y / sin(∠CAD) = y / sin(∠ADC) = b / sin(∠ACD)

Perhatikan bahwa ∠ADB dan ∠ADC adalah sudut berpelurus, sehingga ∠ADB + ∠ADC = 180°. Akibatnya, sin(∠ADB) = sin(180° - ∠ADC) = sin(∠ADC).

Dari aturan sinus pada segitiga ABD:
x / sin(∠BAD) = c / sin(∠ADB)

Dari aturan sinus pada segitiga ACD:
y / sin(∠CAD) = b / sin(∠ADC)

Karena sin(∠ADB) = sin(∠ADC), kita dapat menyusun ulang kedua persamaan:
x / c = sin(∠BAD) / sin(∠ADB)
y / b = sin(∠CAD) / sin(ADC)

Ini masih belum mengarah pada hasil yang diinginkan. Mari kita gunakan properti pembagi sudut.

Menurut Dalil Pembagi Sudut (Angle Bisector Theorem) pada segitiga ABC, jika AD adalah garis bagi sudut A, maka perbandingan panjang segmen sisi BC (yaitu BD dan CD) sama dengan perbandingan panjang sisi-sisi segitiga yang mengapit sudut A (yaitu AB dan AC).

Jadi, menurut Dalil Pembagi Sudut:
BD / CD = AB / AC
Substitusikan BD = x, CD = y, AB = c, dan AC = b:
x / y = c / b

Jika kita harus menggunakan aturan sinus:
Terapkan aturan sinus pada segitiga ABD:
x / sin(∠BAD) = c / sin(∠ADB) => sin(∠BAD) = (x * sin(∠ADB)) / c
Terapkan aturan sinus pada segitiga ACD:
y / sin(∠CAD) = b / sin(∠ADC) => sin(∠CAD) = (y * sin(∠ADC)) / b

Karena AD adalah garis bagi sudut A, maka ∠BAD = ∠CAD.
Karena ∠ADB dan ∠ADC berpelurus, maka sin(∠ADB) = sin(∠ADC).

Oleh karena itu, kita dapat menyamakan kedua persamaan:
(x * sin(∠ADB)) / c = (y * sin(ADC)) / b
Karena sin(∠ADB) = sin(∠ADC), kita dapat membagi kedua sisi dengan sin(∠ADB) (asumsi sin(∠ADB) ≠ 0):
x / c = y / b
Pindahkan y ke sisi kiri dan c ke sisi kanan:
x / y = c / b
Terbukti.