Garis singgung dari kurva y=(x)/(2-2 x) yang melalui titik

x - 8y - 9 = 0

Pembahasan

Untuk mencari garis singgung kurva y = x / (2 - 2x) yang melalui titik (1, -1), kita perlu mencari gradien garis singgung tersebut. Gradien garis singgung adalah turunan pertama dari fungsi kurva.

Fungsi kurva: y = x / (2 - 2x)

Mencari turunan pertama (gradien, m) menggunakan aturan hasil bagi:
Misalkan u = x, maka u' = 1.
Misalkan v = 2 - 2x, maka v' = -2.

m = (u'v - uv') / v^2
m = (1 * (2 - 2x) - x * (-2)) / (2 - 2x)^2
m = (2 - 2x + 2x) / (2 - 2x)^2
m = 2 / (2 - 2x)^2
m = 2 / (4 * (1 - x)^2)
m = 1 / (2 * (1 - x)^2)

Sekarang kita perlu mencari gradien pada titik singgung. Namun, titik (1, -1) tidak berada pada kurva karena jika x=1, penyebutnya menjadi 0 (2 - 2*1 = 0).
Ini berarti soal ini meminta garis yang menyinggung kurva, dan garis tersebut juga melalui titik (1, -1), tetapi (1, -1) bukanlah titik singgungnya.

Misalkan titik singgung pada kurva adalah (a, y_a), di mana y_a = a / (2 - 2a).
Gradien di titik singgung ini adalah m = 1 / (2 * (1 - a)^2).

Garis singgung yang melalui (a, y_a) dan (1, -1) memiliki gradien yang sama:

m = (y_a - (-1)) / (a - 1)
m = (a / (2 - 2a) + 1) / (a - 1)
m = ((a + 2 - 2a) / (2 - 2a)) / (a - 1)
m = ((2 - a) / (2(1 - a))) / (a - 1)
m = (2 - a) / (2(1 - a)(a - 1))
m = (2 - a) / (-2(1 - a)^2)

Sekarang kita samakan kedua ekspresi gradien:
1 / (2 * (1 - a)^2) = (2 - a) / (-2 * (1 - a)^2)

Kita bisa membatalkan (1 - a)^2 dari kedua sisi (dengan asumsi a ≠ 1):
1 / 2 = (2 - a) / -2

Kalikan kedua sisi dengan -2:
-1 = 2 - a
a = 2 + 1
a = 3

Jadi, titik singgungnya terjadi pada x = 3.
Sekarang kita cari nilai y pada titik singgung:
y_a = 3 / (2 - 2*3) = 3 / (2 - 6) = 3 / -4 = -3/4

Titik singgung adalah (3, -3/4).

Sekarang kita hitung gradien menggunakan salah satu ekspresi gradien dengan a = 3:

m = 1 / (2 * (1 - 3)^2) = 1 / (2 * (-2)^2) = 1 / (2 * 4) = 1/8

Atau menggunakan gradien dari dua titik:
m = (-3/4 - (-1)) / (3 - 1) = (-3/4 + 1) / 2 = (1/4) / 2 = 1/8

Gradiennya adalah 1/8.

Sekarang kita gunakan persamaan garis lurus dengan gradien m = 1/8 dan melalui titik (1, -1) (atau titik singgung (3, -3/4)):

Menggunakan titik (1, -1):
y - y1 = m(x - x1)
y - (-1) = (1/8)(x - 1)
y + 1 = (1/8)(x - 1)

Kalikan kedua sisi dengan 8:
8(y + 1) = x - 1
8y + 8 = x - 1

Susun ulang ke bentuk umum Ax + By + C = 0:
0 = x - 8y - 1 - 8
0 = x - 8y - 9

Jadi, persamaan garis singgungnya adalah x - 8y - 9 = 0.

Mari kita cek dengan pilihan jawaban:
A. x - 8y - 9 = 0 (Cocok)
B. x + 4y + 3 = 0
C. 2x - 8y - 10 = 0
D. x + 8y + 7 = 0
E. x - 4y - 5 = 0

Jawaban yang benar adalah A.