Garis singgung di titik (12,-5) pada lingkaran x^2+y^2=169

p = 169

Pembahasan

Pertama, kita perlu mencari persamaan garis singgung pada lingkaran pertama. Lingkaran x^2 + y^2 = 169 memiliki pusat di (0,0) dan jari-jari 13. Gradien garis yang menghubungkan pusat (0,0) ke titik (12, -5) adalah m_radius = (-5 - 0) / (12 - 0) = -5/12. Garis singgung tegak lurus terhadap jari-jari pada titik singgung. Oleh karena itu, gradien garis singgung (m_garis_singgung) adalah negatif kebalikan dari gradien jari-jari: m_garis_singgung = -1 / (-5/12) = 12/5.

Persamaan garis singgung di titik (12, -5) dapat ditulis menggunakan bentuk titik-gradien: y - y1 = m(x - x1)
y - (-5) = (12/5)(x - 12)
y + 5 = (12/5)x - 144/5
Kalikan kedua sisi dengan 5 untuk menghilangkan pecahan:
5y + 25 = 12x - 144
12x - 5y - 169 = 0

Sekarang, garis ini menyinggung lingkaran kedua (x - 5)^2 + (y - 12)^2 = p. Lingkaran kedua ini memiliki pusat di (5, 12) dan jari-jari sqrt(p).

Syarat garis menyinggung lingkaran adalah jarak dari pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran. Jarak dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 diberikan oleh rumus:
d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)

Dalam kasus ini, (x0, y0) = (5, 12), A = 12, B = -5, C = -169, dan jarak (d) sama dengan jari-jari lingkaran kedua, yaitu sqrt(p).

d = |12(5) - 5(12) - 169| / sqrt(12^2 + (-5)^2)
d = |60 - 60 - 169| / sqrt(144 + 25)
d = |-169| / sqrt(169)
d = 169 / 13
d = 13

Karena jarak (d) sama dengan jari-jari lingkaran kedua (sqrt(p)), maka:
sqrt(p) = 13
p = 13^2
p = 169