Garis y=-2x+c menyinggung lingkaran x^2+y^2-2x-2y-15=0 .

c = 3 ± sqrt(85)

Pembahasan

Untuk menentukan nilai c agar garis y = -2x + c menyinggung lingkaran x^2 + y^2 - 2x - 2y - 15 = 0, kita dapat menggunakan dua metode: substitusi atau menggunakan rumus jarak titik ke garis.

Metode 1: Substitusi
Substitusikan y = -2x + c ke dalam persamaan lingkaran:
x^2 + (-2x + c)^2 - 2x - 2(-2x + c) - 15 = 0
x^2 + (4x^2 - 4cx + c^2) - 2x + 4x - 2c - 15 = 0
x^2 + 4x^2 - 4cx + c^2 - 2x + 4x - 2c - 15 = 0
5x^2 + (-4c + 2)x + (c^2 - 2c - 15) = 0

Agar garis menyinggung lingkaran, persamaan kuadrat ini harus memiliki tepat satu solusi (diskriminan D = 0).
Diskriminan D = b^2 - 4ac, di mana a=5, b=(-4c+2), c=(c^2-2c-15).

D = (-4c + 2)^2 - 4(5)(c^2 - 2c - 15) = 0
(16c^2 - 16c + 4) - 20(c^2 - 2c - 15) = 0
16c^2 - 16c + 4 - 20c^2 + 40c + 300 = 0
-4c^2 + 24c + 304 = 0
Bagi kedua sisi dengan -4:
c^2 - 6c - 76 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam c. Kita bisa gunakan rumus abc untuk mencari nilai c.
Namun, mari kita coba metode kedua yang mungkin lebih mudah.

Metode 2: Menggunakan Rumus Jarak Titik ke Garis
Persamaan lingkaran: x^2 + y^2 - 2x - 2y - 15 = 0
Untuk mencari pusat dan jari-jari lingkaran, kita ubah ke bentuk standar (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2.
(x^2 - 2x) + (y^2 - 2y) = 15
(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 15 + 1 + 1
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 17

Jadi, pusat lingkaran adalah (h, k) = (1, 1) dan jari-jari lingkaran adalah r = sqrt(17).

Garis singgung adalah y = -2x + c, yang dapat ditulis ulang sebagai 2x + y - c = 0.

Syarat garis menyinggung lingkaran adalah jarak dari pusat lingkaran ke garis singgung sama dengan jari-jari lingkaran.
Rumus jarak dari titik (x0, y0) ke garis Ax + By + C = 0 adalah:
d = |Ax0 + By0 + C| / sqrt(A^2 + B^2)

Dalam kasus ini, (x0, y0) = (1, 1), A = 2, B = 1, C = -c, dan d = r = sqrt(17).

sqrt(17) = |2(1) + 1(1) - c| / sqrt(2^2 + 1^2)
sqrt(17) = |2 + 1 - c| / sqrt(4 + 1)
sqrt(17) = |3 - c| / sqrt(5)

Kalikan kedua sisi dengan sqrt(5):
sqrt(17) * sqrt(5) = |3 - c|
sqrt(85) = |3 - c|

Ini berarti:
1) 3 - c = sqrt(85)  => c = 3 - sqrt(85)
2) 3 - c = -sqrt(85) => c = 3 + sqrt(85)

Jadi, ada dua nilai c yang mungkin agar garis menyinggung lingkaran tersebut, yaitu 3 - sqrt(85) dan 3 + sqrt(85).

Mari kita cek kembali hasil metode substitusi:
c^2 - 6c - 76 = 0
Menggunakan rumus abc: c = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
c = [6 ± sqrt((-6)^2 - 4(1)(-76))] / 2(1)
c = [6 ± sqrt(36 + 304)] / 2
c = [6 ± sqrt(340)] / 2
c = [6 ± sqrt(4 * 85)] / 2
c = [6 ± 2*sqrt(85)] / 2
c = 3 ± sqrt(85)

Hasil dari kedua metode konsisten.

Nilai c yang mungkin adalah 3 + sqrt(85) atau 3 - sqrt(85).