Tentukan nilai minimum fungsi objektif f(x, y) = 4x-2y dari

Nilai minimum fungsi objektif $f(x, y) = 4x-2y$ adalah -4, yang dicapai pada titik sudut (1, 4) dari daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan yang diberikan.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai minimum fungsi objektif $f(x, y) = 4x-2y$ pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan, kita perlu menggambar daerah penyelesaiannya terlebih dahulu dan kemudian menguji titik-titik sudutnya menggunakan garis selidik.

Sistem pertidaksamaan:
1. $2x+3y \ge 2$
2. $3y-2x \le 10 \implies -2x+3y \le 10$
3. $2x+y \le 6$
4. $y \ge 0$

Garis selidik untuk $f(x, y) = 4x-2y$ adalah $4x-2y = k$, atau $y = 2x - k/2$. Gradien garis selidik adalah 2. Kita akan menggeser garis ini sejajar ke kanan bawah (karena kita mencari nilai minimum dan koefisien x positif, koefisien y negatif) sampai menyentuh titik terakhir pada daerah penyelesaian.

Mari kita cari titik-titik potong dari garis-garis batas:

*   Titik potong $2x+3y=2$ dan $y=0$:
    $2x+0=2 \implies x=1$. Titik: $(1, 0)$.
*   Titik potong $2x+y=6$ dan $y=0$:
    $2x+0=6 \implies x=3$. Titik: $(3, 0)$.
*   Titik potong $2x+3y=2$ dan $2x+y=6$:
    Kurangkan persamaan kedua dari pertama: $(2x+3y) - (2x+y) = 2 - 6 
    $2y = -4 
    $y = -2$. Karena $y \ge 0$, titik potong ini tidak relevan untuk daerah penyelesaian.

*   Titik potong $2x+3y=2$ dan $-2x+3y=10$:
    Jumlahkan kedua persamaan: $(2x+3y) + (-2x+3y) = 2 + 10
    $6y = 12 
    $y = 2$. Substitusikan y=2 ke $2x+3y=2$: $2x + 3(2) = 2 
    $2x + 6 = 2 
    $2x = -4 
    $x = -2$. Titik: $(-2, 2)$. Namun, ini juga tidak berada di kuadran yang relevan karena $x$ negatif, dan pertidaksamaan $2x+y 
le 6$ serta $y 
ge 0$ perlu diperiksa.

*   Titik potong $-2x+3y=10$ dan $2x+y=6$:
    Jumlahkan kedua persamaan: $(-2x+3y) + (2x+y) = 10 + 6
    $4y = 16 
    $y = 4$. Substitusikan y=4 ke $2x+y=6$: $2x + 4 = 6 
    $2x = 2 
    $x = 1$. Titik: $(1, 4)$.

*   Titik potong $2x+y=6$ dan $y=0$:
    $2x+0=6 \implies x=3$. Titik: $(3,0)$.

*   Titik potong $2x+3y=2$ dan $y=0$:
    $2x+0=2 \implies x=1$. Titik: $(1,0)$.

*   Titik potong $-2x+3y=10$ dan $y=0$:
    $-2x+0=10 \implies x=-5$. Titik: $(-5,0)$.

Daerah penyelesaian dibatasi oleh $y 
ge 0$, $2x+3y 
ge 2$, $-2x+3y 
le 10$, dan $2x+y 
le 6$.

Titik-titik sudut yang relevan adalah:
1.  Titik potong $2x+3y=2$ dan $y=0$: $(1, 0)$. Periksa pertidaksamaan lain: $-2(1)+3(0) = -2 
le 10$ (Benar), $2(1)+0 = 2 
le 6$ (Benar).
2.  Titik potong $2x+y=6$ dan $y=0$: $(3, 0)$. Periksa pertidaksamaan lain: $2(3)+3(0) = 6 
ge 2$ (Benar), $-2(3)+3(0) = -6 
le 10$ (Benar).
3.  Titik potong $-2x+3y=10$ dan $2x+y=6$: $(1, 4)$. Periksa pertidaksamaan lain: $2(1)+3(4) = 2+12 = 14 
ge 2$ (Benar), $4 
ge 0$ (Benar).

Sekarang, uji titik-titik sudut pada fungsi objektif $f(x, y) = 4x-2y$:
*   Untuk $(1, 0)$: $f(1, 0) = 4(1) - 2(0) = 4$.
*   Untuk $(3, 0)$: $f(3, 0) = 4(3) - 2(0) = 12$.
*   Untuk $(1, 4)$: $f(1, 4) = 4(1) - 2(4) = 4 - 8 = -4$.

Nilai minimum fungsi objektif adalah -4, yang dicapai pada titik (1, 4).