Hasil dari integral pi/3 pi/2 (4 cos 2x-3 sin 3x) dx=...

Hasil integralnya adalah \(1 - \sqrt{3}\).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tentu dari \(\frac{\pi}{3}\) hingga \(\frac{\pi}{2}\) dari \((4 \cos 2x - 3 \sin 3x) dx\), kita perlu mencari antiturunan dari fungsi tersebut terlebih dahulu, lalu mengevaluasinya pada batas atas dan batas bawah.

Antiturunan dari \(4 \cos 2x\) adalah \(\frac{4}{2} \sin 2x = 2 \sin 2x\).
Antiturunan dari \(-3 \sin 3x\) adalah \(\frac{-3}{-3} \cos 3x = \cos 3x\).

Jadi, antiturunan dari \((4 \cos 2x - 3 \sin 3x)\) adalah \(2 \sin 2x + \cos 3x\).

Selanjutnya, kita evaluasi antiturunan ini pada batas atas (\(\frac{\pi}{2}\)) dan batas bawah (\(\frac{\pi}{3}\)):

Pada batas atas (x = \(\frac{\pi}{2}\)):
\(2 \sin (2 \times \frac{\pi}{2}) + \cos (3 \times \frac{\pi}{2}) = 2 \sin \pi + \cos \frac{3\pi}{2} = 2(0) + 0 = 0\)

Pada batas bawah (x = \(\frac{\pi}{3}\)):
\(2 \sin (2 \times \frac{\pi}{3}) + \cos (3 \times \frac{\pi}{3}) = 2 \sin \frac{2\pi}{3} + \cos \pi = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-1) = \sqrt{3} - 1\)

Hasil integralnya adalah nilai pada batas atas dikurangi nilai pada batas bawah:
\(0 - (\sqrt{3} - 1) = 1 - \sqrt{3}\)

Oleh karena itu, hasil dari integral \(\frac{\pi}{3}\) sampai \(\frac{\pi}{2}\) dari \((4 \cos 2x - 3 \sin 3x) dx\) adalah \(1 - \sqrt{3}\).