Hasil dari lim t->0 tan(4t)/sin(3t)

Hasil dari lim t->0 tan(4t)/sin(3t) adalah 4/3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 saat t mendekati 0.
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika limit suatu fungsi berbentuk 0/0 atau ∞/∞, maka limit tersebut sama dengan limit dari turunan pembilang dibagi dengan turunan penyebut.

Fungsi yang diberikan adalah lim t->0 tan(4t)/sin(3t).

Turunan dari tan(4t) adalah 4 * sec^2(4t).
Turunan dari sin(3t) adalah 3 * cos(3t).

Menerapkan aturan L'Hopital:
lim t->0 [4 * sec^2(4t)] / [3 * cos(3t)]

Sekarang, kita substitusikan t = 0 ke dalam persamaan:
sec(0) = 1/cos(0) = 1/1 = 1
cos(0) = 1

Jadi, limitnya adalah:
[4 * sec^2(0)] / [3 * cos(0)] = [4 * (1)^2] / [3 * 1] = 4/3

Alternatif lain adalah menggunakan identitas trigonometri:
tan(x) = sin(x)/cos(x)

lim t->0 [sin(4t)/cos(4t)] / sin(3t)
= lim t->0 sin(4t) / [cos(4t) * sin(3t)]

Kita tahu bahwa untuk nilai t yang sangat kecil, sin(x) ≈ x.
Maka:
sin(4t) ≈ 4t
sin(3t) ≈ 3t

Substitusikan kembali ke dalam limit:
lim t->0 (4t) / [cos(4t) * (3t)]
= lim t->0 4 / [3 * cos(4t)]

Saat t mendekati 0, cos(4t) mendekati cos(0) = 1.
Jadi, limitnya adalah 4 / (3 * 1) = 4/3.