Hasil dari (sin25+sin65)/(cos140+cos100) adalah

-√2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan identitas trigonometri:
1. sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
2. cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
3. sin(90 - A) = cos A
4. cos(90 + A) = -sin A
5. cos(180 - A) = -cos A
6. sin(A) + sin(B) = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)
7. cos(A) + cos(B) = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)

Mari kita ubah penyebutnya terlebih dahulu:
cos(140) + cos(100)
Menggunakan identitas nomor 7:
A = 140, B = 100
(A+B)/2 = (140+100)/2 = 240/2 = 120
(A-B)/2 = (140-100)/2 = 40/2 = 20
Jadi, cos(140) + cos(100) = 2 cos(120) cos(20)
Kita tahu cos(120) = -1/2
Maka, 2 cos(120) cos(20) = 2 (-1/2) cos(20) = -cos(20)

Sekarang kita ubah pembilangnya:
sin(25) + sin(65)
Menggunakan identitas nomor 6:
A = 25, B = 65
(A+B)/2 = (25+65)/2 = 90/2 = 45
(A-B)/2 = (25-65)/2 = -40/2 = -20
Jadi, sin(25) + sin(65) = 2 sin(45) cos(-20)
Karena cos(-A) = cos(A), maka cos(-20) = cos(20)
Kita tahu sin(45) = sqrt(2)/2
Maka, 2 sin(45) cos(20) = 2 (sqrt(2)/2) cos(20) = sqrt(2) cos(20)

Sekarang kita gabungkan pembilang dan penyebut:
(sin25+sin65)/(cos140+cos100) = (sqrt(2) cos(20)) / (-cos(20))
= -sqrt(2)

Alternatif penyelesaian menggunakan identitas lain:
sin(25) + sin(65) = sin(25) + cos(90-65) = sin(25) + cos(25)
cos(140) + cos(100) = cos(180-40) + cos(180-80) = -cos(40) - cos(80)
= -(cos(40) + cos(80))
cos(40) + cos(80) = 2 cos((40+80)/2) cos((40-80)/2) = 2 cos(60) cos(-20) = 2 (1/2) cos(20) = cos(20)
Maka, cos(140) + cos(100) = -cos(20)

Jadi, (sin25+sin65)/(cos140+cos100) = (sin(25) + cos(25)) / (-cos(20))
Ini tidak menyederhanakan dengan mudah. Metode pertama lebih tepat.

Mari gunakan identitas nomor 3 dan 4 untuk mengubah sudut:
sin(25) = cos(90-25) = cos(65)
Jadi, sin(25) + sin(65) = cos(65) + sin(65)

cos(140) = cos(180-40) = -cos(40)
cos(100) = cos(180-80) = -cos(80)
Jadi, cos(140) + cos(100) = -cos(40) - cos(80)

Metode pertama dengan rumus jumlah dan selisih sudut adalah yang paling efisien.