Hasil kali matriks (BA)(B +A^-1)B^-1 =

BA + I

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menyederhanakan ekspresi matriks yang diberikan: (BA)(B + A⁻¹)B⁻¹.

Langkah 1: Distribusikan BA ke dalam tanda kurung (B + A⁻¹).
(BA)(B + A⁻¹)B⁻¹ = (BA)B(B⁻¹) + (BA)(A⁻¹)B⁻¹

Langkah 2: Gunakan sifat asosiatif perkalian matriks.
= B(AB)B⁻¹ + B(AA⁻¹)B⁻¹

Langkah 3: Gunakan sifat invers matriks (AA⁻¹ = I, di mana I adalah matriks identitas).
= B(AB)B⁻¹ + B(I)B⁻¹

Langkah 4: Matriks identitas tidak mengubah matriks ketika dikalikan (BI = B).
= B(AB)B⁻¹ + BB⁻¹

Langkah 5: Gunakan sifat invers matriks lagi (BB⁻¹ = I).
= B(AB)B⁻¹ + I

Langkah 6: Perhatikan bahwa B(AB)B⁻¹ dapat ditulis ulang menggunakan sifat asosiatif.
B(AB)B⁻¹ = (BAB)B⁻¹
Ini tidak menyederhanakan lebih lanjut tanpa informasi tentang matriks A dan B.

Namun, jika kita perhatikan kembali Langkah 2, kita bisa menyederhanakannya secara berbeda:
(BA)(B + A⁻¹)B⁻¹ = (BA)BB⁻¹ + (BA)A⁻¹B⁻¹
= BA(BB⁻¹) + B(AA⁻¹)B⁻¹
= BA(I) + B(I)B⁻¹
= BA + BB⁻¹
= BA + I

Jadi, hasil kali matriks (BA)(B + A⁻¹)B⁻¹ adalah BA + I.