Kelas SmamathMatematika
Hasil produksi suatu barang menunjukkan rata-rata produksi
Pertanyaan
Hasil produksi suatu barang menunjukkan rata-rata produksi barang yang rusak 15%. Jika dari total produksi diambil 10 barang, hitunglah probabilitas: a. sebanyak 3 barang rusak, b. paling sedikit 6 barang rusak, c. antara 2-5 barang rusak, d. tepat 8 barang rusak.
Solusi
Verified
a. \(\approx\) 0,1298, b. \(\approx\) 0,0201, c. \(\approx\) 0,2100, d. \(\approx\) 0,00008
Pembahasan
Soal ini berkaitan dengan distribusi binomial karena kita memiliki percobaan Bernoulli berulang (setiap barang rusak atau tidak), jumlah percobaan tetap (10 barang), probabilitas sukses (barang rusak) konstan, dan percobaan independen. Diketahui: Jumlah percobaan (n) = 10 Probabilitas barang rusak (p) = 15% = 0,15 Probabilitas barang tidak rusak (q) = 1 - p = 1 - 0,15 = 0,85 Rumus probabilitas binomial: \( P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k) \), di mana C(n, k) = \( n! / (k! * (n-k)!) \). a. Probabilitas sebanyak 3 barang rusak (k=3): \( P(X=3) = C(10, 3) * (0,15)^3 * (0,85)^(10-3) \) \( C(10, 3) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 120 \) \( P(X=3) = 120 * (0,15)^3 * (0,85)^7 \) \( P(X=3) = 120 * 0,003375 * 0,320577 \) \( P(X=3) \approx 0,1298 \) b. Probabilitas paling sedikit 6 barang rusak (k \(\ge\) 6): Ini berarti kita perlu menghitung \(P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)\). \(P(X=6) = C(10, 6) * (0,15)^6 * (0,85)^4 \approx 0,0167 \) \(P(X=7) = C(10, 7) * (0,15)^7 * (0,85)^3 \approx 0,0030 \) \(P(X=8) = C(10, 8) * (0,15)^8 * (0,85)^2 \approx 0,0004 \) \(P(X=9) = C(10, 9) * (0,15)^9 * (0,85)^1 \approx 0,0000 \) \(P(X=10) = C(10, 10) * (0,15)^{10} * (0,85)^0 \approx 0,0000 \) \(P(X \ge 6) \approx 0,0167 + 0,0030 + 0,0004 + 0,0000 + 0,0000 \approx 0,0201 \) c. Probabilitas antara 2-5 barang rusak (2 \(<\) k \(<=\) 5): Ini berarti kita perlu menghitung \(P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)\). Kita sudah menghitung \(P(X=3)\). \(P(X=4) = C(10, 4) * (0,15)^4 * (0,85)^6 \approx 0,0596 \) \(P(X=5) = C(10, 5) * (0,15)^5 * (0,85)^5 \approx 0,0206 \) \(P(2 < X \le 5) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) \approx 0,1298 + 0,0596 + 0,0206 \approx 0,2100 \) d. Probabilitas tepat 8 barang rusak (k=8): \( P(X=8) = C(10, 8) * (0,15)^8 * (0,85)^2 \) \( C(10, 8) = 10! / (8! * 2!) = (10 * 9) / (2 * 1) = 45 \) \( P(X=8) = 45 * (0,15)^8 * (0,85)^2 \) \( P(X=8) = 45 * (0,00000253) * (0,7225) \) \( P(X=8) \approx 0,000082 \) (Dibulatkan menjadi 4 angka desimal menjadi 0,0001, atau jika lebih presisi sekitar 0,000082) Menggunakan kalkulator binomial, P(X=8) \(\approx\) 0,0000815 Ringkasan: a. Sekitar 0,1298 b. Sekitar 0,0201 c. Sekitar 0,2100 d. Sekitar 0,00008
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Probabilitas, Statistika
Section: Distribusi Binomial
Apakah jawaban ini membantu?