Hasil produksi suatu barang menunjukkan rata-rata produksi

a. \(\approx\) 0,1298, b. \(\approx\) 0,0201, c. \(\approx\) 0,2100, d. \(\approx\) 0,00008

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan distribusi binomial karena kita memiliki percobaan Bernoulli berulang (setiap barang rusak atau tidak), jumlah percobaan tetap (10 barang), probabilitas sukses (barang rusak) konstan, dan percobaan independen.

Diketahui:
Jumlah percobaan (n) = 10
Probabilitas barang rusak (p) = 15% = 0,15
Probabilitas barang tidak rusak (q) = 1 - p = 1 - 0,15 = 0,85

Rumus probabilitas binomial: \( P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k) \), di mana C(n, k) = \( n! / (k! * (n-k)!) \).

a. Probabilitas sebanyak 3 barang rusak (k=3):
   \( P(X=3) = C(10, 3) * (0,15)^3 * (0,85)^(10-3) \)
   \( C(10, 3) = 10! / (3! * 7!) = (10 * 9 * 8) / (3 * 2 * 1) = 120 \)
   \( P(X=3) = 120 * (0,15)^3 * (0,85)^7 \)
   \( P(X=3) = 120 * 0,003375 * 0,320577 \)
   \( P(X=3) \approx 0,1298 \)

b. Probabilitas paling sedikit 6 barang rusak (k \(\ge\) 6):
   Ini berarti kita perlu menghitung \(P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)\).
   \(P(X=6) = C(10, 6) * (0,15)^6 * (0,85)^4 \approx 0,0167 \)
   \(P(X=7) = C(10, 7) * (0,15)^7 * (0,85)^3 \approx 0,0030 \)
   \(P(X=8) = C(10, 8) * (0,15)^8 * (0,85)^2 \approx 0,0004 \)
   \(P(X=9) = C(10, 9) * (0,15)^9 * (0,85)^1 \approx 0,0000 \)
   \(P(X=10) = C(10, 10) * (0,15)^{10} * (0,85)^0 \approx 0,0000 \)
   \(P(X \ge 6) \approx 0,0167 + 0,0030 + 0,0004 + 0,0000 + 0,0000 \approx 0,0201 \)

c. Probabilitas antara 2-5 barang rusak (2 \(<\) k \(<=\) 5):
   Ini berarti kita perlu menghitung \(P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)\). Kita sudah menghitung \(P(X=3)\).
   \(P(X=4) = C(10, 4) * (0,15)^4 * (0,85)^6 \approx 0,0596 \)
   \(P(X=5) = C(10, 5) * (0,15)^5 * (0,85)^5 \approx 0,0206 \)
   \(P(2 < X \le 5) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) \approx 0,1298 + 0,0596 + 0,0206 \approx 0,2100 \)

d. Probabilitas tepat 8 barang rusak (k=8):
   \( P(X=8) = C(10, 8) * (0,15)^8 * (0,85)^2 \)
   \( C(10, 8) = 10! / (8! * 2!) = (10 * 9) / (2 * 1) = 45 \)
   \( P(X=8) = 45 * (0,15)^8 * (0,85)^2 \)
   \( P(X=8) = 45 * (0,00000253) * (0,7225) \)
   \( P(X=8) \approx 0,000082 \) (Dibulatkan menjadi 4 angka desimal menjadi 0,0001, atau jika lebih presisi sekitar 0,000082)
   Menggunakan kalkulator binomial, P(X=8) \(\approx\) 0,0000815

Ringkasan:
a. Sekitar 0,1298
b. Sekitar 0,0201
c. Sekitar 0,2100
d. Sekitar 0,00008