Himpunan penyelesaian dari |2x + 3|> |x + 1| adalah

Himpunan penyelesaiannya adalah x < -2 atau x > -4/3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak |2x + 3| > |x + 1|, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi karena kedua sisi bernilai non-negatif:

(|2x + 3|)^2 > (|x + 1|)^2

(2x + 3)^2 > (x + 1)^2

Perluas kedua sisi:
(4x^2 + 12x + 9) > (x^2 + 2x + 1)

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:
4x^2 + 12x + 9 - x^2 - 2x - 1 > 0

3x^2 + 10x + 8 > 0

Sekarang, kita perlu mencari akar-akar dari persamaan kuadrat 3x^2 + 10x + 8 = 0. Kita bisa menggunakan rumus kuadrat atau faktorisasi. Mari kita coba faktorisasi:
Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 3 * 8 = 24 dan jika dijumlahkan menghasilkan 10. Bilangan tersebut adalah 6 dan 4.

3x^2 + 6x + 4x + 8 = 0
3x(x + 2) + 4(x + 2) = 0
(3x + 4)(x + 2) = 0

Akar-akarnya adalah:
3x + 4 = 0  => x = -4/3
x + 2 = 0   => x = -2

Sekarang kita memiliki dua titik kritis: -2 dan -4/3. Kita perlu menguji interval yang dibentuk oleh titik-titik ini pada garis bilangan untuk menentukan di mana 3x^2 + 10x + 8 > 0.

Intervalnya adalah: (-∞, -2), (-2, -4/3), dan (-4/3, ∞).

*   **Uji interval (-∞, -2):** Pilih x = -3
    3(-3)^2 + 10(-3) + 8 = 3(9) - 30 + 8 = 27 - 30 + 8 = 5. Karena 5 > 0, interval ini adalah bagian dari solusi.

*   **Uji interval (-2, -4/3):** Pilih x = -1.5 (-3/2)
    3(-1.5)^2 + 10(-1.5) + 8 = 3(2.25) - 15 + 8 = 6.75 - 15 + 8 = -0.25. Karena -0.25 < 0, interval ini bukan bagian dari solusi.

*   **Uji interval (-4/3, ∞):** Pilih x = 0
    3(0)^2 + 10(0) + 8 = 8. Karena 8 > 0, interval ini adalah bagian dari solusi.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x < -2 atau x > -4/3.

Dalam notasi interval: (-∞, -2) U (-4/3, ∞).

Jawaban Ringkas: Himpunan penyelesaiannya adalah x < -2 atau x > -4/3.