Himpunan penyelesaian dari cos 3x=cos 1/4 pi untuk

Himpunan penyelesaiannya adalah {$\frac{1}{12} \pi, \frac{7}{12} \pi, \frac{3}{4} \pi, \frac{5}{4} \pi, \frac{17}{12} \pi, \frac{23}{12} \pi$}.

Pembahasan

Kita diminta untuk mencari himpunan penyelesaian dari $\cos 3x = \cos \frac{1}{4} \pi$ untuk $0 \le x \le 2\pi$.
Persamaan $\cos A = \cos B$ memiliki solusi umum $A = \pm B + 2k\pi$, di mana $k$ adalah bilangan bulat.
Dalam kasus ini, $A = 3x$ dan $B = \frac{1}{4} \pi$.

Kasus 1: $3x = \frac{1}{4} \pi + 2k\pi$
Bagi kedua sisi dengan 3:
$x = \frac{1}{12} \pi + \frac{2k}{3} \pi$

Sekarang kita cari nilai $x$ dalam rentang $0 \le x \le 2\pi$ dengan memberikan nilai pada $k$:
Jika $k=0$: $x = \frac{1}{12} \pi + 0 = \frac{1}{12} \pi$. (Ini dalam rentang)
Jika $k=1$: $x = \frac{1}{12} \pi + \frac{2}{3} \pi = \frac{1}{12} \pi + \frac{8}{12} \pi = \frac{9}{12} \pi = \frac{3}{4} \pi$. (Ini dalam rentang)
Jika $k=2$: $x = \frac{1}{12} \pi + \frac{4}{3} \pi = \frac{1}{12} \pi + \frac{16}{12} \pi = \frac{17}{12} \pi$. (Ini dalam rentang)
Jika $k=3$: $x = \frac{1}{12} \pi + \frac{6}{3} \pi = \frac{1}{12} \pi + 2 \pi = \frac{25}{12} \pi$. (Ini di luar rentang $2\pi$)

Kasus 2: $3x = -\frac{1}{4} \pi + 2k\pi$
Bagi kedua sisi dengan 3:
$x = -\frac{1}{12} \pi + \frac{2k}{3} \pi$

Sekarang kita cari nilai $x$ dalam rentang $0 \le x 
le 2\pi$ dengan memberikan nilai pada $k$:
Jika $k=0$: $x = -\frac{1}{12} \pi$. (Ini di luar rentang)
Jika $k=1$: $x = -\frac{1}{12} \pi + \frac{2}{3} \pi = -\frac{1}{12} \pi + \frac{8}{12} \pi = \frac{7}{12} \pi$. (Ini dalam rentang)
Jika $k=2$: $x = -\frac{1}{12} \pi + \frac{4}{3} \pi = -\frac{1}{12} \pi + \frac{16}{12} \pi = \frac{15}{12} \pi = \frac{5}{4} \pi$. (Ini dalam rentang)
Jika $k=3$: $x = -\frac{1}{12} \pi + \frac{6}{3} \pi = -\frac{1}{12} \pi + 2 \pi = \frac{23}{12} \pi$. (Ini dalam rentang)
Jika $k=4$: $x = -\frac{1}{12} \pi + \frac{8}{3} \pi = -\frac{1}{12} \pi + \frac{32}{12} \pi = \frac{31}{12} \pi$. (Ini di luar rentang $2\pi$)

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah nilai-nilai $x$ yang kita temukan:
$x = \frac{1}{12} \pi, \frac{3}{4} \pi, \frac{17}{12} \pi, \frac{7}{12} \pi, \frac{5}{4} \pi, \frac{23}{12} \pi$.

Urutkan dari yang terkecil:
$x = \frac{1}{12} \pi, \frac{7}{12} \pi, \frac{3}{4} \pi (=\frac{9}{12} \pi), \frac{5}{4} \pi (=\frac{15}{12} \pi), \frac{17}{12} \pi, \frac{23}{12} \pi$.

Himpunan penyelesaiannya adalah {$\frac{1}{12} \pi, \frac{7}{12} \pi, \frac{3}{4} \pi, \frac{5}{4} \pi, \frac{17}{12} \pi, \frac{23}{12} \pi$}.