Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x^2+4x > 7

{x | x < -7/3 atau x > 1}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan 3x² + 4x > 7, kita perlu mencari nilai-nilai x yang memenuhi kondisi tersebut.
Langkah 1: Ubah pertidaksamaan menjadi bentuk standar (sama dengan nol).
3x² + 4x - 7 > 0

Langkah 2: Cari akar-akar persamaan kuadrat 3x² + 4x - 7 = 0.
Kita bisa menggunakan rumus kuadratik: x = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a
Di sini, a = 3, b = 4, dan c = -7.
x = [-4 ± sqrt(4² - 4 * 3 * -7)] / (2 * 3)
x = [-4 ± sqrt(16 + 84)] / 6
x = [-4 ± sqrt(100)] / 6
x = [-4 ± 10] / 6

Ada dua akar:
x1 = (-4 + 10) / 6 = 6 / 6 = 1
x2 = (-4 - 10) / 6 = -14 / 6 = -7/3

Langkah 3: Uji interval.
Kita memiliki tiga interval berdasarkan akar-akar: x < -7/3, -7/3 < x < 1, dan x > 1.
Kita substitusikan nilai uji dari setiap interval ke dalam pertidaksamaan 3x² + 4x - 7 > 0.

Untuk x < -7/3 (misalnya x = -3):
3(-3)² + 4(-3) - 7 = 3(9) - 12 - 7 = 27 - 12 - 7 = 8. (8 > 0, jadi interval ini memenuhi).

Untuk -7/3 < x < 1 (misalnya x = 0):
3(0)² + 4(0) - 7 = 0 + 0 - 7 = -7. (-7 > 0, jadi interval ini tidak memenuhi).

Untuk x > 1 (misalnya x = 2):
3(2)² + 4(2) - 7 = 3(4) + 8 - 7 = 12 + 8 - 7 = 13. (13 > 0, jadi interval ini memenuhi).

Langkah 4: Tentukan himpunan penyelesaian.
Pertidaksamaan 3x² + 4x > 7 terpenuhi ketika x < -7/3 atau x > 1.

Himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < -7/3 atau x > 1}.