Himpunan penyelesaian dari sin (x-20)+sin (x+70)-1>=0 untuk

Himpunan penyelesaiannya adalah $20^\circ \le x \le 110^\circ$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan $\sin (x-20^\circ)+\sin (x+70^\circ)-1 \ge 0$ untuk $0^\circ \le x \le 360^\circ$, kita akan menggunakan identitas penjumlahan sinus dan sifat-sifat fungsi sinus.

1.  Gunakan identitas penjumlahan sinus: $\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$.
    Dalam kasus ini, $A = x - 20^\circ$ dan $B = x + 70^\circ$.
    *   Hitung $\frac{A+B}{2}$: $\frac{(x-20^\circ) + (x+70^\circ)}{2} = \frac{2x + 50^\circ}{2} = x + 25^\circ$.
    *   Hitung $\frac{A-B}{2}$: $\frac{(x-20^\circ) - (x+70^\circ)}{2} = \frac{x - 20^\circ - x - 70^\circ}{2} = \frac{-90^\circ}{2} = -45^\circ$.

2.  Substitusikan hasil ini ke dalam pertidaksamaan:
    $2 \sin(x+25^\circ) \cos(-45^\circ) - 1 \ge 0$

3.  Kita tahu bahwa $\cos(-45^\circ) = \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Substitusikan nilai ini:
    $2 \sin(x+25^\circ) \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 1 \ge 0$
    $\sqrt{2} \sin(x+25^\circ) - 1 \ge 0$

4.  Selesaikan untuk $\sin(x+25^\circ)$:
    $\sqrt{2} \sin(x+25^\circ) \ge 1$
    $\sin(x+25^\circ) \ge \frac{1}{\sqrt{2}}$
    $\sin(x+25^\circ) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$

5.  Tentukan sudut $\theta$ dimana $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Sudut-sudut ini adalah $45^\circ$ dan $135^\circ$ dalam interval $[0^\circ, 360^\circ]$.
    Karena kita mencari $\sin(x+25^\circ) \ge \frac{\sqrt{2}}{2}$, maka nilai $\sin$ harus berada di antara $45^\circ$ dan $135^\circ$ (termasuk kedua nilai tersebut).
    Jadi, $45^\circ \le x+25^\circ \le 135^\circ$.

6.  Selesaikan untuk $x$ dengan mengurangkan $25^\circ$ dari semua bagian pertidaksamaan:
    $45^\circ - 25^\circ \le x \le 135^\circ - 25^\circ$
    $20^\circ \le x \le 110^\circ$

7.  Periksa rentang yang diberikan: $0^\circ \le x \le 360^\circ$. Interval yang kita temukan, $[20^\circ, 110^\circ]$, sepenuhnya berada dalam rentang ini.

Jadi, himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah $20^\circ \le x \le 110^\circ$.