Himpunan penyelesaian dari tan 4x=tan 4/5 pi untuk 0<=x<=2

{π/5, 9π/20, 7π/10, 19π/20, 6π/5, 29π/20, 17π/10, 39π/20}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $	an(4x) = 	an(rac{4}{5}	ext{π})$ dengan batasan $0 
esize
 	ext{π}$.

Jika $	an(A) = 	an(B)$, maka solusi umumnya adalah $A = B + n 	imes 	ext{π}$, di mana $n$ adalah bilangan bulat.

Dalam kasus ini, $A = 4x$ dan $B = rac{4}{5}	ext{π}$.
Jadi, $4x = rac{4}{5}	ext{π} + n 	imes 	ext{π}$.

Untuk mencari $x$, kita bagi kedua sisi dengan 4:
$x = rac{1}{4} 	imes (rac{4}{5}	ext{π} + n 	imes 	ext{π})$
$x = rac{1}{4} 	imes rac{4}{5}	ext{π} + rac{1}{4} 	imes n 	imes 	ext{π}$
$x = rac{1}{5}	ext{π} + rac{n}{4}	ext{π}$

Sekarang kita perlu mencari nilai-nilai $x$ dalam rentang $0 
esize
 	ext{π}$.

Untuk $n=0$:
$x = rac{1}{5}	ext{π} + rac{0}{4}	ext{π} = rac{1}{5}	ext{π}$.
Nilai ini berada dalam rentang $[0, 2	ext{π}]$.

Untuk $n=1$:
$x = rac{1}{5}	ext{π} + rac{1}{4}	ext{π}$
Samakan penyebutnya:
$x = rac{4}{20}	ext{π} + rac{5}{20}	ext{π} = rac{9}{20}	ext{π}$.
Nilai ini berada dalam rentang $[0, 2	ext{π}]$.

Untuk $n=2$:
$x = rac{1}{5}	ext{π} + rac{2}{4}	ext{π} = rac{1}{5}	ext{π} + rac{1}{2}	ext{π}$
Samakan penyebutnya:
$x = rac{2}{10}	ext{π} + rac{5}{10}	ext{π} = rac{7}{10}	ext{π}$.
Nilai ini berada dalam rentang $[0, 2	ext{π}]$.

Untuk $n=3$:
$x = rac{1}{5}	ext{π} + rac{3}{4}	ext{π}$
Samakan penyebutnya:
$x = rac{4}{20}	ext{π} + rac{15}{20}	ext{π} = rac{19}{20}	ext{π}$.
Nilai ini berada dalam rentang $[0, 2	ext{π}]$.

Untuk $n=4$:
$x = rac{1}{5}	ext{π} + rac{4}{4}	ext{π} = rac{1}{5}	ext{π} + 	ext{π}$
Samakan penyebutnya:
$x = rac{1}{5}	ext{π} + rac{5}{5}	ext{π} = rac{6}{5}	ext{π}$.
Nilai ini berada dalam rentang $[0, 2	ext{π}]$.

Untuk $n=5$:
$x = rac{1}{5}	ext{π} + rac{5}{4}	ext{π}$
Samakan penyebutnya:
$x = rac{4}{20}	ext{π} + rac{25}{20}	ext{π} = rac{29}{20}	ext{π}$.
Nilai ini berada dalam rentang $[0, 2	ext{π}]$.

Untuk $n=6$:
$x = rac{1}{5}	ext{π} + rac{6}{4}	ext{π} = rac{1}{5}	ext{π} + rac{3}{2}	ext{π}$
Samakan penyebutnya:
$x = rac{2}{10}	ext{π} + rac{15}{10}	ext{π} = rac{17}{10}	ext{π}$.
Nilai ini berada dalam rentang $[0, 2	ext{π}]$.

Untuk $n=7$:
$x = rac{1}{5}	ext{π} + rac{7}{4}	ext{π}$
Samakan penyebutnya:
$x = rac{4}{20}	ext{π} + rac{35}{20}	ext{π} = rac{39}{20}	ext{π}$.
Nilai ini berada dalam rentang $[0, 2	ext{π}]$.

Untuk $n=8$:
$x = rac{1}{5}	ext{π} + rac{8}{4}	ext{π} = rac{1}{5}	ext{π} + 2	ext{π}$
Nilai ini $2rac{1}{5}	ext{π}$, yang lebih besar dari $2	ext{π}$. Jadi kita berhenti di sini.

Himpunan penyelesaiannya adalah $	ext{{}rac{1}{5}	ext{π}, rac{9}{20}	ext{π}, rac{7}{10}	ext{π}, rac{19}{20}	ext{π}, rac{6}{5}	ext{π}, rac{29}{20}	ext{π}, rac{17}{10}	ext{π}, rac{39}{20}	ext{π}}$.