Perhatikan gambar berikut.Gambar tersebut menunjukkan

k = 2

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menghitung volume benda putar yang terjadi ketika daerah yang dibatasi oleh kurva 2y = -akar(2x+1), garis x=1, dan garis x=k diputar mengelilingi sumbu X. Diketahui volume benda putar tersebut adalah pi satuan.

Pertama, kita perlu mengekspresikan y dalam bentuk x dari persamaan kurva: 
y = -1/2 * akar(2x+1)

Karena kita akan memutar daerah di sekitar sumbu X, kita perlu mengkuadratkan fungsi y:
y^2 = (-1/2 * akar(2x+1))^2
y^2 = 1/4 * (2x+1)

Rumus volume benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X adalah:
V = π * integral dari [y^2] dx

Dalam kasus ini, batas integrasinya adalah dari x=1 sampai x=k:
V = π * integral dari [1/4 * (2x+1)] dx

Kita tahu bahwa V = π. Jadi:
π = π * integral dari 1 sampai k [1/4 * (2x+1)] dx
1 = integral dari 1 sampai k [1/4 * (2x+1)] dx

Sekarang kita hitung integralnya:
integral [1/4 * (2x+1)] dx = 1/4 * integral (2x + 1) dx
= 1/4 * [x^2 + x]

Evaluasi integral dari 1 sampai k:
[1/4 * (k^2 + k)] - [1/4 * (1^2 + 1)] = 1
1/4 * (k^2 + k) - 1/4 * (1 + 1) = 1
1/4 * (k^2 + k) - 1/4 * 2 = 1
1/4 * (k^2 + k) - 1/2 = 1
1/4 * (k^2 + k) = 1 + 1/2
1/4 * (k^2 + k) = 3/2
k^2 + k = (3/2) * 4
k^2 + k = 6
k^2 + k - 6 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat:
(k + 3)(k - 2) = 0

Maka, nilai k adalah -3 atau 2.
Karena dari gambar sumbu x pada daerah arsiran adalah positif (k > 1), maka nilai k yang memenuhi adalah 2.