Himpunan penyelesaian dari x log 2+1>=x log (x^2-2x+4)

{x | 0 < x < 1 atau x = 2}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma x log 2 + 1 >= x log (x^2 - 2x + 4), kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Tentukan domain:
   - Basis logaritma (x) harus positif dan tidak sama dengan 1, sehingga x > 0 dan x ≠ 1.
   - Argumen logaritma harus positif: x^2 - 2x + 4 > 0. Diskriminan dari persamaan kuadrat ini adalah D = (-2)^2 - 4(1)(4) = 4 - 16 = -12. Karena D < 0 dan koefisien x^2 positif, maka x^2 - 2x + 4 selalu positif untuk semua nilai x.
   Jadi, domain pertidaksamaan ini adalah x > 0 dan x ≠ 1.

2. Sederhanakan pertidaksamaan:
   x log 2 + 1 >= x log (x^2 - 2x + 4)
   x log 2 + x log x >= x log (x^2 - 2x + 4)   (Karena 1 = x log x)
   x log (2x) >= x log (x^2 - 2x + 4)

3. Analisis berdasarkan nilai x:
   Kasus 1: Jika x > 1 (basis > 1, fungsi logaritma naik)
      2x >= x^2 - 2x + 4
      0 >= x^2 - 4x + 4
      0 >= (x - 2)^2
      Karena kuadrat suatu bilangan real tidak pernah negatif, maka satu-satunya kemungkinan adalah (x - 2)^2 = 0, yang berarti x = 2. Nilai x = 2 memenuhi syarat x > 1.

   Kasus 2: Jika 0 < x < 1 (basis antara 0 dan 1, fungsi logaritma turun)
      2x <= x^2 - 2x + 4
      0 <= x^2 - 4x + 4
      0 <= (x - 2)^2
      Pertidaksamaan ini selalu benar untuk semua nilai x real. Namun, kita perlu mempertimbangkan batasan 0 < x < 1. Jadi, solusi untuk kasus ini adalah 0 < x < 1.

4. Gabungkan solusi dari kedua kasus:
   Dari Kasus 1, kita mendapatkan x = 2.
   Dari Kasus 2, kita mendapatkan 0 < x < 1.

   Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | 0 < x < 1 atau x = 2}.