Himpunan penyelesaian persamaan 4sin^2x-5 sinx-2=2cos^ x

Himpunan penyelesaiannya adalah {7pi/6, 11pi/6}.

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan persamaan trigonometri 4sin^2x - 5sinx - 2 = 2cos^2x untuk 0 <= x <= 2pi.
Langkah pertama adalah menyederhanakan persamaan dengan menggunakan identitas trigonometri cos^2x = 1 - sin^2x.
Substitusikan ini ke dalam persamaan:
4sin^2x - 5sinx - 2 = 2(1 - sin^2x)
4sin^2x - 5sinx - 2 = 2 - 2sin^2x
Sekarang, pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat dalam sinx:
4sin^2x + 2sin^2x - 5sinx - 2 - 2 = 0
6sin^2x - 5sinx - 4 = 0
Misalkan y = sinx. Persamaan menjadi:
6y^2 - 5y - 4 = 0
Kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat ini menggunakan rumus kuadratik: y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Di sini, a = 6, b = -5, dan c = -4.
y = [ -(-5) ± sqrt((-5)^2 - 4(6)(-4)) ] / (2 * 6)
y = [ 5 ± sqrt(25 + 96) ] / 12
y = [ 5 ± sqrt(121) ] / 12
y = [ 5 ± 11 ] / 12
Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk y (atau sinx):
y1 = (5 + 11) / 12 = 16 / 12 = 4/3
y2 = (5 - 11) / 12 = -6 / 12 = -1/2
Karena nilai sinus suatu sudut harus berada di antara -1 dan 1 (inklusif), y1 = 4/3 tidak mungkin terjadi.
Jadi, kita hanya mempertimbangkan y2 = -1/2.
Ini berarti sinx = -1/2.
Kita perlu mencari nilai x dalam interval [0, 2pi] di mana sinx = -1/2.
Nilai sinus negatif berada di kuadran ketiga dan keempat.
Sudut referensi di mana sinx = 1/2 adalah pi/6 (atau 30 derajat).
Di kuadran ketiga, x = pi + pi/6 = 7pi/6.
Di kuadran keempat, x = 2pi - pi/6 = 11pi/6.
Jadi, himpunan penyelesaian persamaan tersebut adalah {7pi/6, 11pi/6}.