Himpunan penyelesaian persamaan 9^(3log(2x-1))=25 adalah

{ (1 + 5^(1/3)) / 2 }

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan 9^(3log(2x-1))=25, kita perlu menyederhanakan kedua sisi persamaan agar basisnya sama atau menggunakan logaritma. 
Pertama, ubah 9 menjadi 3^2 dan 25 menjadi 5^2. 
Maka, persamaan menjadi (3^2)^(3log(2x-1)) = 5^2. 
Ini dapat ditulis sebagai 3^(2 * 3log(2x-1)) = 5^2 atau 3^(6log(2x-1)) = 5^2.
Namun, basis di kedua sisi tidak sama (3 dan 5), sehingga pendekatan ini kurang tepat untuk langsung menyamakan eksponen.

Mari kita gunakan sifat logaritma: a^(log_a(b)) = b. 
Kita bisa menulis 9 sebagai 3^2. Persamaan menjadi (3^2)^(3log(2x-1)) = 25.
Menggunakan sifat eksponen (a^m)^n = a^(m*n), kita dapatkan 3^(2 * 3log(2x-1)) = 25.
3^(6log(2x-1)) = 25.
Sekarang, kita perlu berhati-hati dengan notasi. Diasumsikan '3log(2x-1)' berarti logaritma basis 3 dari (2x-1), yaitu log_3(2x-1).
Jika demikian, maka 6log_3(2x-1) adalah eksponennya.
Persamaan menjadi 3^(log_3((2x-1)^6)) = 25.
Menggunakan sifat a^(log_a(b)) = b, kita dapatkan (2x-1)^6 = 25.
Ambil akar pangkat 6 dari kedua sisi: 2x-1 = ±(25)^(1/6).
2x-1 = ±(5^2)^(1/6).
2x-1 = ±5^(2/6).
2x-1 = ±5^(1/3).
2x = 1 ± 5^(1/3).
x = (1 ± 5^(1/3)) / 2.

Namun, jika 3log(2x-1) berarti 3 * log(2x-1) dengan basis 10 atau e, penyelesaiannya akan berbeda dan lebih kompleks.
Mari kita asumsikan '3log' adalah notasi untuk logaritma basis 3.

Kita perlu memastikan bahwa argumen logaritma positif: 2x-1 > 0, sehingga x > 1/2.
Jika x = (1 + 5^(1/3)) / 2, maka 2x = 1 + 5^(1/3), sehingga 2x-1 = 5^(1/3) > 0. Nilai ini valid.
Jika x = (1 - 5^(1/3)) / 2, maka 2x = 1 - 5^(1/3). Karena 5^(1/3) lebih besar dari 1 (karena 1^3=1 dan 2^3=8), maka 1 - 5^(1/3) akan negatif. Jadi, 2x-1 < 0. Nilai ini tidak valid.

Maka, himpunan penyelesaiannya adalah { (1 + 5^(1/3)) / 2 }.

Perlu dicatat jika notasi '3log' merujuk pada logaritma dengan basis lain, jawabannya akan berbeda. Namun, dalam konteks soal matematika SMA, seringkali 'blog(arg)' merujuk pada logaritma dengan basis 'b'. Jika yang dimaksud adalah logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10, notasi yang digunakan biasanya 'ln' atau 'log' tanpa basis yang dituliskan secara eksplisit di depan.

Mari kita pertimbangkan kemungkinan lain: 9^y = 25, di mana y = 3log(2x-1).
Jika kita menganggap logaritma yang dimaksud adalah logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10.
Misalkan logaritma basis 10: 9^(3 log(2x-1)) = 25
Ambil log basis 10 di kedua sisi:
log(9^(3 log(2x-1))) = log(25)
(3 log(2x-1)) * log(9) = log(25)
3 log(2x-1) = log(25) / log(9)
log(2x-1) = (1/3) * (log(25) / log(9))
log(2x-1) = (1/3) * log_9(25)
log(2x-1) = log_9(25^(1/3))
2x-1 = 9^(log_9(25^(1/3)))
2x-1 = 25^(1/3)
2x = 1 + 25^(1/3)
x = (1 + 25^(1/3)) / 2

Ini memberikan hasil yang sama jika '3log' diartikan sebagai 'log' (basis 10) dan pangkatnya adalah 3 kali logaritma tersebut.

Jika kita menganggap '3log(2x-1)' adalah sebuah nilai tunggal, sebut saja k. Maka 9^k = 25. Ini berarti k = log_9(25). 
Jadi, 3log(2x-1) = log_9(25).
Jika '3log' berarti logaritma basis 3:
3 log_3(2x-1) = log_9(25)
log_3((2x-1)^3) = log_9(25)
Kita tahu log_9(25) = log_{3^2}(5^2) = (2/2) log_3(5) = log_3(5).
Maka, log_3((2x-1)^3) = log_3(5).
(2x-1)^3 = 5.
2x-1 = 5^(1/3).
2x = 1 + 5^(1/3).
x = (1 + 5^(1/3)) / 2.

Dengan asumsi bahwa '3log' berarti logaritma basis 3:
Himpunan penyelesaian persamaan 9^(3log(2x-1))=25 adalah { (1 + 5^(1/3)) / 2 }.