Himpunan penyelesaian persamaan cos(2x)+5sin x+2=0 untuk

{7pi/6, 11pi/6}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan cos(2x) + 5sin(x) + 2 = 0 dalam rentang 0 <= x <= 2pi, kita perlu menggunakan identitas trigonometri. Identitas cos(2x) dapat dinyatakan dalam bentuk sinus sebagai 1 - 2sin^2(x). Mengganti cos(2x) dalam persamaan, kita mendapatkan: (1 - 2sin^2(x)) + 5sin(x) + 2 = 0. Menyusun ulang persamaan ini menjadi persamaan kuadrat dalam bentuk sin(x): -2sin^2(x) + 5sin(x) + 3 = 0. Atau, 2sin^2(x) - 5sin(x) - 3 = 0. Misalkan y = sin(x), sehingga persamaan menjadi 2y^2 - 5y - 3 = 0. Persamaan kuadrat ini dapat difaktorkan menjadi (2y + 1)(y - 3) = 0. Dari sini, kita mendapatkan dua kemungkinan solusi untuk y: 2y + 1 = 0 atau y - 3 = 0. Maka, y = -1/2 atau y = 3. Karena y = sin(x), kita memiliki sin(x) = -1/2 atau sin(x) = 3. Nilai sin(x) tidak pernah lebih dari 1 atau kurang dari -1, sehingga sin(x) = 3 tidak memiliki solusi. Kita hanya perlu mempertimbangkan sin(x) = -1/2. Dalam rentang 0 <= x <= 2pi, nilai-nilai x di mana sin(x) = -1/2 adalah pada kuadran ketiga dan keempat. Sudut referensinya adalah pi/6 (karena sin(pi/6) = 1/2). Jadi, solusi dalam rentang yang diberikan adalah x = pi + pi/6 = 7pi/6 dan x = 2pi - pi/6 = 11pi/6. Oleh karena itu, himpunan penyelesaiannya adalah {7pi/6, 11pi/6}.