Himpunan penyelesaian persamaan (x -4)^4x = (x -4)^(1+3x)

Himpunan penyelesaiannya adalah {1, 3, 4, 5}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $(x -4)^{4x} = (x -4)^{1+3x}$, kita perlu mempertimbangkan dua kasus:

Kasus 1: Basis sama dengan 1.
Jika basisnya adalah 1, maka kedua sisi persamaan akan sama dengan 1, terlepas dari eksponennya. Jadi, kita atur basisnya menjadi 1:
x - 4 = 1
x = 5

Kita verifikasi dengan memasukkan x=5 ke persamaan awal:
(5 - 4)^(4*5) = (5 - 4)^(1 + 3*5)
1^20 = 1^16
1 = 1
Hasil ini benar, sehingga x = 5 adalah salah satu solusi.

Kasus 2: Eksponen sama.
Jika basisnya bukan 0, 1, atau -1, maka agar kedua sisi persamaan sama, eksponennya harus sama:
4x = 1 + 3x
4x - 3x = 1
x = 1

Kita verifikasi dengan memasukkan x=1 ke persamaan awal:
(1 - 4)^(4*1) = (1 - 4)^(1 + 3*1)
(-3)^4 = (-3)^4
81 = 81
Hasil ini benar, sehingga x = 1 adalah salah satu solusi.

Kasus 3: Basis sama dengan -1.
Jika basisnya adalah -1, maka kedua sisi akan sama jika kedua eksponen memiliki paritas yang sama (keduanya genap atau keduanya ganjil).
- x - 4 = -1
x = 3

Kita periksa eksponennya jika x = 3:
Eksponen kiri: 4x = 4(3) = 12 (genap)
Eksponen kanan: 1 + 3x = 1 + 3(3) = 1 + 9 = 10 (genap)
Karena kedua eksponen genap, maka basis -1 menghasilkan solusi yang valid.

Kita verifikasi dengan memasukkan x=3 ke persamaan awal:
(3 - 4)^(4*3) = (3 - 4)^(1 + 3*3)
(-1)^12 = (-1)^10
1 = 1
Hasil ini benar, sehingga x = 3 adalah salah satu solusi.

Kasus 4: Basis sama dengan 0.
Jika basisnya adalah 0, maka kedua sisi akan sama jika kedua eksponennya positif. Namun, kita harus berhati-hati karena 0^0 tidak terdefinisi secara universal.
x - 4 = 0
x = 4

Periksa eksponennya jika x = 4:
Eksponen kiri: 4x = 4(4) = 16 (positif)
Eksponen kanan: 1 + 3x = 1 + 3(4) = 1 + 12 = 13 (positif)
Dalam konteks penyelesaian persamaan seperti ini, 0 dipangkatkan bilangan positif biasanya dianggap 0. Namun, seringkali kasus basis 0 dikecualikan jika tidak secara eksplisit disebutkan definisinya. Jika kita menganggap $0^n = 0$ untuk $n>0$, maka $0^{16} = 0^{13}$ yang berarti $0 = 0$. Namun, ini adalah kasus yang ambigu.

Namun, jika kita lihat kembali soalnya, $(x -4)^4x = (x -4)^(1+3x)$, solusi yang umumnya dicari adalah ketika basisnya bukan nol, atau ketika eksponennya sama. Jika basisnya nol, kita harus memastikan eksponennya positif. Dalam kasus x=4, basisnya adalah 0, eksponen kirinya adalah 16, dan eksponen kanannya adalah 13. Karena kedua eksponen positif, maka 0^16 = 0 dan 0^13 = 0, sehingga x=4 juga merupakan solusi.

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah {1, 3, 4, 5}.