Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1/2 log(x^2+3x)<=1/2

Himpunan penyelesaiannya adalah \(-8 < x \le -4\) atau \(x \ge 2\).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma \(\frac{1}{2} \log(x^2+3x) \le \frac{1}{2} \log(x+8)\), kita perlu mempertimbangkan beberapa hal:

1.  **Syarat numerus (argumen logaritma) harus positif:**
    *   \(x^2 + 3x > 0\)  =>  \(x(x+3) > 0\)  =>  \(x < -3\) atau \(x > 0\)
    *   \(x + 8 > 0\)  =>  \(x > -8\)
    Gabungan kedua syarat ini adalah \(-8 < x < -3\) atau \(x > 0\).

2.  **Menyelesaikan pertidaksamaan logaritma:**
    Karena basis logaritma (1/2) kurang dari 1, maka tanda pertidaksamaan berubah saat menghilangkan logaritma:
    \(x^2 + 3x \ge x + 8\)
    \(x^2 + 2x - 8 \ge 0\)
    \((x+4)(x-2) \ge 0\)
    Ini memberikan solusi \(x \le -4\) atau \(x \ge 2\).

3.  **Mencari irisan solusi:**
    Kita perlu mencari irisan antara syarat numerus (\(-8 < x < -3\) atau \(x > 0\)) dan solusi pertidaksamaan (\(x \le -4\) atau \(x \ge 2\)).
    *   Irisan dari \(-8 < x < -3\) dan \(x \le -4\) adalah \(-8 < x \le -4\).
    *   Irisan dari \(x > 0\) dan \(x \ge 2\) adalah \(x \ge 2\).

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(-8 < x \le -4\) atau \(x \ge 2\).