Himpunan penyelesaian pertidaksmaan (x-2)/(x+3)>0

Himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < -3 atau x > 2}.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan 
(x-2)/(x+3) > 0
Kita perlu mencari nilai-nilai x yang membuat ekspresi tersebut positif.

Langkah 1: Cari pembuat nol untuk pembilang dan penyebut.
Pembilang: x - 2 = 0  => x = 2
Penyebut: x + 3 = 0  => x = -3

Langkah 2: Buat garis bilangan dan tentukan interval.
Nilai-nilai kritis adalah -3 dan 2. Ini membagi garis bilangan menjadi tiga interval:
1. x < -3
2. -3 < x < 2
3. x > 2

Langkah 3: Uji nilai x dari setiap interval untuk menentukan tanda ekspresi (x-2)/(x+3).

Interval 1: x < -3
Pilih x = -4
(x-2) = (-4 - 2) = -6 (negatif)
(x+3) = (-4 + 3) = -1 (negatif)
(x-2)/(x+3) = (-)/(-) = + (positif)

Interval 2: -3 < x < 2
Pilih x = 0
(x-2) = (0 - 2) = -2 (negatif)
(x+3) = (0 + 3) = 3 (positif)
(x-2)/(x+3) = (-)/(+) = - (negatif)

Interval 3: x > 2
Pilih x = 3
(x-2) = (3 - 2) = 1 (positif)
(x+3) = (3 + 3) = 6 (positif)
(x-2)/(x+3) = (+)/(+) = + (positif)

Langkah 4: Tentukan himpunan penyelesaian.
Pertidaksamaan yang diminta adalah (x-2)/(x+3) > 0, yang berarti kita mencari interval di mana ekspresi bernilai positif.
Dari uji interval, ekspresi positif pada:
x < -3
dan
x > 2

Perlu diingat bahwa penyebut (x+3) tidak boleh sama dengan nol, jadi x tidak boleh sama dengan -3. Nilai x=2 membuat pembilang nol, yang menghasilkan 0, dan 0 tidak lebih besar dari 0, jadi x=2 tidak termasuk dalam solusi.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x | x < -3 atau x > 2}.
Dalam notasi interval, ini adalah (-∞, -3) U (2, ∞).