Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear

Nilai dari 12xyz adalah -3993/13.

Pembahasan

Misalkan a = 1/x, b = 1/y, c = 1/z.
Sistem persamaan linear menjadi:
1. 4a + 3b + c = -4
2. -a - 4b - 2c = -1
3. 2a + 5b - c = 0

Dari persamaan (3), kita dapatkan c = 2a + 5b. Substitusikan nilai c ke persamaan (1) dan (2).

Substitusi ke (1):
4a + 3b + (2a + 5b) = -4
6a + 8b = -4
3a + 4b = -2  (Persamaan 4)

Substitusi ke (2):
-a - 4b - 2(2a + 5b) = -1
-a - 4b - 4a - 10b = -1
-5a - 14b = -1
5a + 14b = 1   (Persamaan 5)

Sekarang kita punya sistem persamaan baru dengan dua variabel:
4. 3a + 4b = -2
5. 5a + 14b = 1

Kalikan Persamaan 4 dengan 5 dan Persamaan 5 dengan 3 untuk menghilangkan variabel a:
(3a + 4b = -2) * 5  -> 15a + 20b = -10
(5a + 14b = 1) * 3  -> 15a + 42b = 3

Kurangkan persamaan baru hasil perkalian:
(15a + 42b) - (15a + 20b) = 3 - (-10)
22b = 13
b = 13/22

Substitusikan nilai b ke Persamaan 4:
3a + 4(13/22) = -2
3a + 52/22 = -2
3a + 26/11 = -2
3a = -2 - 26/11
3a = -22/11 - 26/11
3a = -48/11
a = -16/11

Sekarang cari nilai c menggunakan Persamaan 3:
c = 2a + 5b
c = 2(-16/11) + 5(13/22)
c = -32/11 + 65/22
c = -64/22 + 65/22
c = 1/22

Karena a = 1/x, b = 1/y, c = 1/z, maka:
x = 1/a = 1 / (-16/11) = -11/16
y = 1/b = 1 / (13/22) = 22/13
z = 1/c = 1 / (1/22) = 22

Nilai dari 12xyz adalah:
12 * (-11/16) * (22/13) * 22
= 12 * (-11 * 22 * 22) / (16 * 13)
= 12 * (-5324) / 208
= -63888 / 208
= -307.1538...

Mari kita periksa kembali perhitungan.

Substitusi c = 2a + 5b ke persamaan 1:
4a + 3b + (2a + 5b) = -4
6a + 8b = -4
3a + 4b = -2 (Persamaan 4)

Substitusi c = 2a + 5b ke persamaan 2:
-a - 4b - 2(2a + 5b) = -1
-a - 4b - 4a - 10b = -1
-5a - 14b = -1
5a + 14b = 1 (Persamaan 5)

Dari Persamaan 4: 3a = -2 - 4b => a = (-2 - 4b) / 3
Substitusi a ke Persamaan 5:
5((-2 - 4b) / 3) + 14b = 1
(-10 - 20b) / 3 + 14b = 1
Kalikan dengan 3:
-10 - 20b + 42b = 3
22b = 13
b = 13/22

Substitusi b ke a = (-2 - 4b) / 3:
a = (-2 - 4(13/22)) / 3
a = (-2 - 52/22) / 3
a = (-2 - 26/11) / 3
a = (-22/11 - 26/11) / 3
a = (-48/11) / 3
a = -16/11

Substitusi a dan b ke c = 2a + 5b:
c = 2(-16/11) + 5(13/22)
c = -32/11 + 65/22
c = -64/22 + 65/22
c = 1/22

Kita dapatkan a = -16/11, b = 13/22, c = 1/22.

Maka, x = 1/a = -11/16
y = 1/b = 22/13
z = 1/c = 22

Nilai dari 12xyz adalah:
12 * (-11/16) * (22/13) * 22
= (12 * -11 * 22 * 22) / (16 * 13)
= (3 * -11 * 22 * 22) / (4 * 13)  (Sederhanakan 12/16 menjadi 3/4)
= (3 * -11 * 11 * 22) / (2 * 13)   (Sederhanakan 22/4 menjadi 11/2)
= (3 * -121 * 11) / 13
= (3 * -1331) / 13
= -3993 / 13

Mari kita coba metode eliminasi lagi.
1. 4a + 3b + c = -4
2. -a - 4b - 2c = -1
3. 2a + 5b - c = 0

Jumlahkan (1) dan (3):
(4a + 3b + c) + (2a + 5b - c) = -4 + 0
6a + 8b = -4
3a + 4b = -2 (Persamaan 4)

Kalikan (1) dengan 2, lalu jumlahkan dengan (2):
2*(4a + 3b + c) + (-a - 4b - 2c) = 2*(-4) + (-1)
(8a + 6b + 2c) + (-a - 4b - 2c) = -8 - 1
7a + 2b = -9 (Persamaan 5)

Sekarang kita punya:
4. 3a + 4b = -2
5. 7a + 2b = -9

Kalikan Persamaan 5 dengan 2:
(7a + 2b = -9) * 2 -> 14a + 4b = -18

Kurangkan Persamaan 4 dari hasil perkalian Persamaan 5:
(14a + 4b) - (3a + 4b) = -18 - (-2)
11a = -16
a = -16/11

Substitusi a ke Persamaan 4:
3(-16/11) + 4b = -2
-48/11 + 4b = -2
4b = -2 + 48/11
4b = -22/11 + 48/11
4b = 26/11
b = 26 / (11 * 4)
b = 26 / 44
b = 13/22

Substitusi a dan b ke Persamaan 3:
2a + 5b - c = 0
c = 2a + 5b
c = 2(-16/11) + 5(13/22)
c = -32/11 + 65/22
c = -64/22 + 65/22
c = 1/22

Nilai x, y, z sama seperti sebelumnya.
x = -11/16, y = 22/13, z = 22.

12xyz = 12 * (-11/16) * (22/13) * 22
= 12 * (-11 * 22 * 22) / (16 * 13)
= 3 * (-11 * 22 * 22) / (4 * 13)
= 3 * (-11 * 11 * 22) / (2 * 13)
= 3 * (-121 * 11) / 13
= 3 * (-1331) / 13
= -3993 / 13

Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban jika diharapkan hasil bulat. Mari kita periksa soalnya kembali.

Jika persamaan adalah:
4/x + 3/y + 1/z = -4
-1/x - 4/y - 2/z = -1
2/x + 5/y - 1/z = 0

Menggunakan matriks:
| 4  3  1 |   | a |   | -4 |
| -1 -4 -2 | * | b | = | -1 |
| 2  5 -1 |   | c |   | 0  |

Jika ada kesalahan ketik pada soal, misalnya:
4/x + 3/y + 1/z = 10
-1/x - 4/y - 2/z = -7
2/x + 5/y - 1/z = 5

Dengan solusi a=2, b=-1, c=5
Maka x=1/2, y=-1, z=1/5
12xyz = 12 * (1/2) * (-1) * (1/5) = 12 * (-1/10) = -1.2

Mari kita fokus pada soal yang diberikan.
Kita sudah mendapatkan:
a = -16/11, b = 13/22, c = 1/22
x = -11/16, y = 22/13, z = 22

12 * x * y * z = 12 * (-11/16) * (22/13) * 22
= 12 * (-11 * 22 * 22) / (16 * 13)
Sederhanakan 12/16 = 3/4
= 3 * (-11 * 22 * 22) / (4 * 13)
Sederhanakan 22/4 = 11/2
= 3 * (-11 * 11 * 22) / (2 * 13)
= 3 * (-121 * 11) / 13
= 3 * (-1331) / 13
= -3993 / 13

Jika ada kemungkinan kesalahan penulisan di soal, dan salah satu konstanta diubah, misal:
Jika di persamaan ke-3, 2/x + 5/y + 1/z = 0
Maka c = -(2a+5b)
Substitusi ke 1:
4a + 3b - (2a+5b) = -4
2a - 2b = -4
a - b = -2

Substitusi ke 2:
-a - 4b - 2(-(2a+5b)) = -1
-a - 4b + 4a + 10b = -1
3a + 6b = -1

Dari a - b = -2 => a = b - 2
Substitusi ke 3a + 6b = -1:
3(b-2) + 6b = -1
3b - 6 + 6b = -1
9b = 5
b = 5/9

a = 5/9 - 2 = 5/9 - 18/9 = -13/9

c = -(2a+5b) = -(2(-13/9) + 5(5/9)) = -(-26/9 + 25/9) = -(-1/9) = 1/9

x = -9/13, y = 9/5, z = 9

12xyz = 12 * (-9/13) * (9/5) * 9 = 12 * (-6561) / 65 = -78732 / 65

Kembali ke hasil awal yang paling mungkin benar berdasarkan perhitungan:
x = -11/16, y = 22/13, z = 22
Nilai dari 12xyz = -3993 / 13.