Himpunan penyelesaian system persamaan:3x+2y-z=7

3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) berikut:
1. $3x + 2y - z = 7$
2. $5x - 3y + 4z = 30$
3. $x - y - 2z = 4$
Dan kemudian mencari nilai dari $4x + 5y - 3z$, kita dapat menggunakan metode substitusi atau eliminasi.

Menggunakan metode eliminasi:

Langkah 1: Eliminasi variabel $z$ dari persamaan (1) dan (3).
Kalikan persamaan (1) dengan 2:
$2(3x + 2y - z) = 2(7) \implies 6x + 4y - 2z = 14$ (Persamaan 4)
Persamaan (3): $x - y - 2z = 4$
Kurangkan Persamaan (3) dari Persamaan (4):
$(6x + 4y - 2z) - (x - y - 2z) = 14 - 4$
$6x + 4y - 2z - x + y + 2z = 10$
$5x + 5y = 10$
Bagi dengan 5: $x + y = 2$ (Persamaan 5)

Langkah 2: Eliminasi variabel $z$ dari persamaan (2) dan (3).
Kalikan persamaan (3) dengan 2:
$2(x - y - 2z) = 2(4) \implies 2x - 2y - 4z = 8$ (Persamaan 6)
Persamaan (2): $5x - 3y + 4z = 30$
Jumlahkan Persamaan (2) dan Persamaan (6):
$(5x - 3y + 4z) + (2x - 2y - 4z) = 30 + 8$
$5x - 3y + 4z + 2x - 2y - 4z = 38$
$7x - 5y = 38$ (Persamaan 7)

Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel dari Persamaan (5) dan (7).
Dari Persamaan (5): $x + y = 2 \implies x = 2 - y$
Substitusikan $x = 2 - y$ ke Persamaan (7):
$7(2 - y) - 5y = 38$
$14 - 7y - 5y = 38$
$14 - 12y = 38$
$-12y = 38 - 14$
$-12y = 24$
$y = \frac{24}{-12}$
$y = -2$

Langkah 4: Cari nilai $x$ menggunakan Persamaan (5).
$x + y = 2$
$x + (-2) = 2$
$x - 2 = 2$
$x = 2 + 2$
$x = 4$

Langkah 5: Cari nilai $z$ menggunakan Persamaan (1).
$3x + 2y - z = 7$
$3(4) + 2(-2) - z = 7$
$12 - 4 - z = 7$
$8 - z = 7$
$-z = 7 - 8$
$-z = -1$
$z = 1$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $(x, y, z) = (4, -2, 1)$.

Langkah 6: Hitung nilai dari $4x + 5y - 3z$.
$4x + 5y - 3z = 4(4) + 5(-2) - 3(1)$
$= 16 - 10 - 3$
$= 6 - 3$
$= 3$

Jadi, nilai dari $4x + 5y - 3z$ adalah 3.