Himpunan penyelesaian (x+2)/6 - (y-4)/2 -z/2=-4 (x-2)/2

(4, 8, 6)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel tersebut, kita dapat menggunakan metode substitusi atau eliminasi.

Persamaan:
1. (x+2)/6 - (y-4)/2 -z/2 = -4
2. (x-2)/2 + (y+1)/2 - (z+2)/4 = 7/2
3. (x-5)/4 + (y+1)/3 + (z-2)/2 = 19/4

Langkah 1: Ubah persamaan ke bentuk standar (tanpa pecahan).
Kalikan setiap persamaan dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari penyebutnya.

Untuk persamaan 1 (KPK = 6):
(x+2) - 3(y-4) - 3z = -24
x + 2 - 3y + 12 - 3z = -24
x - 3y - 3z + 14 = -24
x - 3y - 3z = -38  ... (1')

Untuk persamaan 2 (KPK = 4):
2(x-2) + 2(y+1) - (z+2) = 14
2x - 4 + 2y + 2 - z - 2 = 14
2x + 2y - z - 4 = 14
2x + 2y - z = 18  ... (2')

Untuk persamaan 3 (KPK = 12):
3(x-5) + 4(y+1) + 6(z-2) = 12 * (19/4)
3x - 15 + 4y + 4 + 6z - 12 = 57
3x + 4y + 6z - 23 = 57
3x + 4y + 6z = 80  ... (3')

Langkah 2: Gunakan metode eliminasi untuk mencari nilai x, y, dan z.

Eliminasi z dari (1') dan (2'):
Kalikan (2') dengan 3:
6x + 6y - 3z = 54 ... (2'')
Kurangkan (1') dari (2''):
(6x + 6y - 3z) - (x - 3y - 3z) = 54 - (-38)
6x + 6y - 3z - x + 3y + 3z = 54 + 38
5x + 9y = 92 ... (4)

Eliminasi z dari (2') dan (3'):
Kalikan (2') dengan 6:
12x + 12y - 6z = 108 ... (2''')
Jumlahkan (2''') dengan (3'):
(12x + 12y - 6z) + (3x + 4y + 6z) = 108 + 80
15x + 16y = 188 ... (5)

Sekarang kita punya sistem persamaan linear dua variabel:
4. 5x + 9y = 92
5. 15x + 16y = 188

Eliminasi x dari (4) dan (5):
Kalikan (4) dengan 3:
15x + 27y = 276 ... (4')
Kurangkan (5) dari (4'):
(15x + 27y) - (15x + 16y) = 276 - 188
15x + 27y - 15x - 16y = 88
11y = 88
y = 8

Substitusikan y = 8 ke persamaan (4):
5x + 9(8) = 92
5x + 72 = 92
5x = 92 - 72
5x = 20
x = 4

Substitusikan x = 4 dan y = 8 ke persamaan (2'):
2(4) + 2(8) - z = 18
8 + 16 - z = 18
24 - z = 18
z = 24 - 18
z = 6

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah (x, y, z) = (4, 8, 6).