Luas daerah yang dibatasi oleh kurva Q y=x^2-4 x dan sumbu

34/3

Pembahasan

Untuk mencari luas daerah yang dibatasi oleh kurva $y = x^2 - 4x$, sumbu X, garis $x=1$, dan garis $x=5$, kita perlu menghitung integral tentu dari fungsi tersebut dalam batas $x=1$ sampai $x=5$.

Pertama, kita cari titik potong kurva dengan sumbu X dengan mengatur $y=0$:
$x^2 - 4x = 0$
$x(x - 4) = 0$
Maka, titik potongnya adalah $x=0$ dan $x=4$.

Kurva $y = x^2 - 4x$ adalah parabola yang terbuka ke atas dengan titik puncak di $x = -(-4)/(2*1) = 2$. Nilai $y$ di titik puncak adalah $(2)^2 - 4(2) = 4 - 8 = -4$.

Dalam interval $[1, 5]$, kurva memotong sumbu X di $x=4$. Ini berarti sebagian area berada di bawah sumbu X (negatif) dan sebagian lagi di atas sumbu X (positif).

Luas dihitung dengan integral:
$$ L = \int_{1}^{5} (x^2 - 4x) dx $$

Lakukan integrasi:
$$ L = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 \right]_{1}^{5} $$

Evaluasi pada batas atas dan bawah:
$$ L = \left( \frac{1}{3}(5)^3 - 2(5)^2 \right) - \left( \frac{1}{3}(1)^3 - 2(1)^2 \right) $$
$$ L = \left( \frac{125}{3} - 2(25) \right) - \left( \frac{1}{3} - 2 \right) $$
$$ L = \left( \frac{125}{3} - 50 \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{6}{3} \right) $$
$$ L = \left( \frac{125}{3} - \frac{150}{3} \right) - \left( -\frac{5}{3} \right) $$
$$ L = \left( -\frac{25}{3} \right) - \left( -\frac{5}{3} \right) $$
$$ L = -\frac{25}{3} + \frac{5}{3} $$
$$ L = -\frac{20}{3} $$

Karena luas tidak bisa negatif, kita perlu memperhatikan area di bawah sumbu X. Kurva berada di bawah sumbu X pada interval (0, 4). Jadi, pada interval [1, 4] luasnya negatif, dan pada interval [4, 5] luasnya positif.

Luas Total = |Area 1-4| + |Area 4-5|
$$ Area_{1}^{4} = \int_{1}^{4} (x^2 - 4x) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 \right]_{1}^{4} $$
$$ = \left( \frac{1}{3}(4)^3 - 2(4)^2 \right) - \left( \frac{1}{3}(1)^3 - 2(1)^2 \right) $$
$$ = \left( \frac{64}{3} - 32 \right) - \left( \frac{1}{3} - 2 \right) $$
$$ = \left( \frac{64 - 96}{3} \right) - \left( \frac{1 - 6}{3} \right) $$
$$ = \left( -\frac{32}{3} \right) - \left( -\frac{5}{3} \right) = -\frac{27}{3} = -9 $$

$$ Area_{4}^{5} = \int_{4}^{5} (x^2 - 4x) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 \right]_{4}^{5} $$
$$ = \left( \frac{1}{3}(5)^3 - 2(5)^2 \right) - \left( \frac{1}{3}(4)^3 - 2(4)^2 \right) $$
$$ = \left( \frac{125}{3} - 50 \right) - \left( \frac{64}{3} - 32 \right) $$
$$ = \left( \frac{125 - 150}{3} \right) - \left( \frac{64 - 96}{3} \right) $$
$$ = \left( -\frac{25}{3} \right) - \left( -\frac{32}{3} \right) = \frac{7}{3} $$

Luas daerah total adalah jumlah nilai absolut dari kedua area tersebut:
Luas = $|-9| + |\frac{7}{3}| = 9 + \frac{7}{3} = \frac{27}{3} + \frac{7}{3} = \frac{34}{3}$