Solusi dari pertidaksamaan |3x+1|<2|x-6| adalah ....

-13 < x < 11/5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak |3x+1| < 2|x-6|, kita bisa menggunakan metode kuadratkan kedua sisi atau memecahnya menjadi kasus-kasus.

Metode Kuadratkan Kedua Sisi:
Karena kedua sisi pertidaksamaan adalah non-negatif, kita bisa mengkuadratkan kedua sisi:
(|3x+1|)^2 < (2|x-6|)^2
(3x+1)^2 < 4(x-6)^2
9x^2 + 6x + 1 < 4(x^2 - 12x + 36)
9x^2 + 6x + 1 < 4x^2 - 48x + 144

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadrat:
9x^2 - 4x^2 + 6x + 48x + 1 - 144 < 0
5x^2 + 54x - 143 < 0

Sekarang, kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat 5x^2 + 54x - 143 = 0 menggunakan rumus kuadratik x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a:
a = 5, b = 54, c = -143

x = [-54 ± sqrt(54^2 - 4 * 5 * -143)] / (2 * 5)
x = [-54 ± sqrt(2916 + 2860)] / 10
x = [-54 ± sqrt(5776)] / 10
x = [-54 ± 76] / 10

Kita dapatkan dua akar:
x1 = (-54 + 76) / 10 = 22 / 10 = 2.2
x2 = (-54 - 76) / 10 = -130 / 10 = -13

Pertidaksamaan 5x^2 + 54x - 143 < 0 berarti kita mencari nilai x di mana parabola terbuka ke atas (karena koefisien x^2 positif) berada di bawah sumbu x. Ini terjadi di antara akar-akarnya.

Jadi, solusinya adalah -13 < x < 2.2.

Dalam notasi himpunan: {x | -13 < x < 2.2} atau (-13, 2.2).

Sebagai alternatif, kita dapat menuliskan batasnya sebagai pecahan: -13 < x < 11/5.