Diketahui kubus ABCD.EFGH, panjang rusuknya 12 cm dan alpha

$\sqrt{6}$ / 3

Pembahasan

Untuk menentukan nilai sin dari sudut antara bidang BDG dan ABCD pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Visualisasikan Kubus:** Bayangkan kubus ABCD.EFGH. Bidang ABCD adalah alas kubus, dan G adalah salah satu titik sudut di bidang atas. Bidang BDG dibentuk oleh diagonal alas BD dan rusuk CG (atau rusuk BG).

2.  **Tentukan Garis Perpotongan:** Bidang BDG dan bidang ABCD berpotongan pada garis BD.

3.  **Tentukan Garis Tegak Lurus:** Kita perlu mencari garis pada bidang BDG yang tegak lurus BD, dan garis pada bidang ABCD yang tegak lurus BD. Titik potong kedua garis tersebut akan membentuk sudut yang dicari.
    *   Pada bidang ABCD, garis yang tegak lurus BD dan melewati titik potongnya dengan garis dari bidang BDG adalah garis yang melalui titik tengah BD (misalnya O) dan tegak lurus BD. Namun, cara yang lebih mudah adalah dengan menggunakan proyeksi.
    *   Pertimbangkan titik G. Proyeksikan G ke bidang ABCD. Proyeksi G pada bidang ABCD adalah titik C (jika kita meninjau dari perspektif rusuk CG tegak lurus bidang alas). Namun, sudut yang dimaksud adalah antara bidang BDG dan ABCD. Garis yang mewakili bidang BDG terhadap bidang ABCD adalah garis yang tegak lurus terhadap BD pada kedua bidang tersebut.

4.  **Pendekatan Menggunakan Jarak dan Luas:**
    *   Misalkan rusuk kubus adalah 's' (dalam kasus ini s = 12 cm).
    *   Panjang diagonal alas BD = s√2 = 12√2 cm.
    *   Pertimbangkan segitiga BDG. BG = s√2 = 12√2 cm, DG = s√2 = 12√2 cm, BD = s√2 = 12√2 cm. Ini berarti segitiga BDG adalah segitiga sama sisi.
    *   Sudut yang dimaksud (alpha) adalah sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD. Kita dapat menggunakan teorema proyeksi luas: Luas Proyeksi = Luas Bidang * cos(alpha).
    *   Proyeksi segitiga BDG pada bidang ABCD adalah segitiga BCD (atau ABD). Luas segitiga BCD = (1/2) * alas * tinggi = (1/2) * BC * CD = (1/2) * s * s = (1/2) * s² = (1/2) * 12² = (1/2) * 144 = 72 cm².
    *   Luas segitiga BDG (segitiga sama sisi dengan sisi 12√2): Luas = (√3/4) * sisi² = (√3/4) * (12√2)² = (√3/4) * (144 * 2) = (√3/4) * 288 = 72√3 cm².

    *   Menggunakan Luas Proyeksi = Luas Bidang * cos(alpha):
        72 = 72√3 * cos(alpha)
        cos(alpha) = 72 / (72√3)
        cos(alpha) = 1/√3 = √3/3

    *   Kita perlu mencari sin(alpha). Kita tahu bahwa sin²(alpha) + cos²(alpha) = 1.
        sin²(alpha) = 1 - cos²(alpha)
        sin²(alpha) = 1 - (1/√3)²
        sin²(alpha) = 1 - (1/3)
        sin²(alpha) = 2/3
        sin(alpha) = √(2/3) = √2 / √3 = √6 / 3

Alternatif menggunakan perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku:

1.  Buat garis dari G yang tegak lurus bidang ABCD. Ini adalah GC, dengan panjang s = 12.
2.  Proyeksikan titik G ke bidang ABCD. Proyeksinya adalah C.
3.  Proyeksikan titik B dan D ke bidang ABCD. Mereka tetap B dan D.
4.  Perhatikan segitiga yang dibentuk oleh titik G, proyeksinya pada bidang ABCD (yaitu C), dan titik pada garis BD yang paling dekat dengan proyeksi G. Namun, ini rumit.

Cara yang lebih mudah adalah dengan mengambil titik pada garis BD, misalnya O (titik tengah BD). Buat garis dari O tegak lurus BD pada bidang ABCD (ini tidak ada secara langsung).

Mari kita gunakan sudut antara vektor normal kedua bidang.
Bidang ABCD memiliki normal $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$ (jika alasnya di xy plane).

Untuk bidang BDG, kita perlu dua vektor dalam bidang tersebut, misalnya $\vec{DB}$ dan $\vec{DG}$.
Misalkan B = (s, 0, 0), D = (0, s, 0), G = (0, s, s), C = (s, 0, s).
B = (12, 0, 0)
D = (0, 12, 0)
G = (0, 12, 12)
C = (12, 0, 12)

$\vec{DB} = B - D = (12, -12, 0)$
$\vec{DG} = G - D = (0, 0, 12)$

Normal bidang BDG ($
\vec{n_2}$) adalah hasil cross product $\vec{DB} \times \vec{DG}$:
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 12 & -12 & 0 \\ 0 & 0 & 12 \end{vmatrix} = i(-144 - 0) - j(144 - 0) + k(0 - 0) = -144i - 144j = (-144, -144, 0)$

Kita bisa gunakan normal yang lebih sederhana, misalnya (1, 1, 0).

Sudut $\theta$ antara dua bidang adalah sudut antara normalnya.
cos(theta) = | $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$ | / (||$
\vec{n_1}$|| ||$
\vec{n_2}$||)
$\vec{n_1} = (0, 0, 1)$
$\vec{n_2} = (1, 1, 0)$ (setelah disederhanakan dari (-144, -144, 0))

$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(1) + (0)(1) + (1)(0) = 0$

Ini berarti kedua normal tegak lurus, yang berarti bidangnya sejajar atau tegak lurus. Ada kesalahan dalam pemilihan vektor normal atau interpretasi sudut.

Mari kita kembali ke pendekatan geometris dengan segitiga siku-siku.

1.  Rusuk kubus = s = 12.
2.  Bidang ABCD adalah alas.
3.  Bidang BDG.
4.  Titik G berada di atas bidang ABCD.
5.  Diagonal BD pada alas.
6.  Sudut alpha adalah antara bidang BDG dan ABCD.

Ambil titik M sebagai titik tengah BD. Dalam kubus, MG tidak tegak lurus BD, tetapi OC tegak lurus BD (di mana O adalah pusat kubus jika kita membayangkan O pada alas).

Consider the projection of G onto the plane ABCD, which is C. The line BD lies on the plane ABCD.

Let's consider the triangle formed by:
- A point on BD.
- A point on the plane BDG.
- The perpendicular distance between the planes.

Consider the height of triangle BDG from G to the base BD. Since BDG is an equilateral triangle with side $s
\sqrt{2}$, the height $h_G$ from G to BD is $h_G = \frac{\sqrt{3}}{2} \times (s\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{6}}{2}s = \frac{\sqrt{6}}{2} 	imes 12 = 6\sqrt{6}$.

Now, consider the projection of this height onto the base ABCD. The foot of the perpendicular from G to the plane ABCD is C. The line BD lies in the plane ABCD.

Let's use a point on BD, say M, the midpoint of BD. The coordinates can help.
Let A = (0, 0, 0), B = (s, 0, 0), D = (0, s, 0), C = (s, s, 0), E = (0, 0, s), F = (s, 0, s), G = (s, s, s), H = (0, s, s).

B = (12, 0, 0)
D = (0, 12, 0)
G = (12, 12, 12)

Vector $\vec{DB} = (12, -12, 0)$
Vector $\vec{DG} = (12, 12, 12)$

Normal to plane BDG = $\vec{DB} \times \vec{DG} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 12 & -12 & 0 \\ 12 & 12 & 12 \end{vmatrix} = i(-144 - 0) - j(144 - 0) + k(144 - (-144)) = -144i - 144j + 288k = (-144, -144, 288)$.
We can simplify this normal vector by dividing by -144: $(1, 1, -2)$. Let $\vec{n_2} = (1, 1, -2)$.

The normal to plane ABCD (z=0) is $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$.

Now find the angle $\alpha$ between the planes using the dot product of their normals:
cos(alpha) = | $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$ | / (||$
\vec{n_1}$|| ||$
\vec{n_2}$||)
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(1) + (0)(1) + (1)(-2) = -2$
||$
\vec{n_1}$|| = $\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$
||$
\vec{n_2}$|| = $\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

cos(alpha) = |-2| / (1 * $\sqrt{6}$) = 2 / $\sqrt{6}$ = 2$
\sqrt{6}$ / 6 = $\sqrt{6}$ / 3.

Now we need to find sin(alpha), given cos(alpha) = $\sqrt{6}$ / 3.
sin²(alpha) + cos²(alpha) = 1
sin²(alpha) = 1 - cos²(alpha)
sin²(alpha) = 1 - ($\sqrt{6}$ / 3)²
sin²(alpha) = 1 - (6 / 9)
sin²(alpha) = 1 - (2 / 3)
sin²(alpha) = 1/3
sin(alpha) = $\sqrt{1/3} = 1 / \sqrt{3} = \sqrt{3} / 3$.

Let's recheck the normal for BDG.
B=(12,0,0), D=(0,12,0), G=(12,12,12).
$
\vec{BD} = D - B = (-12, 12, 0)$
$\vec{BG} = G - B = (0, 12, 12)$

$\vec{BD} \times \vec{BG} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -12 & 12 & 0 \\ 0 & 12 & 12 \end{vmatrix} = i(144 - 0) - j(-144 - 0) + k(-144 - 0) = 144i + 144j - 144k = (144, 144, -144)$.
Simplified normal $\vec{n_2} = (1, 1, -1)$.

Normal for ABCD $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$.

cos(alpha) = | $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}$ | / (||$
\vec{n_1}$|| ||$
\vec{n_2}$||)
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (0)(1) + (0)(1) + (1)(-1) = -1$
||$
\vec{n_1}$|| = 1
||$
\vec{n_2}$|| = $\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$

cos(alpha) = |-1| / (1 * $\sqrt{3}$) = 1 / $\sqrt{3}$ = $\sqrt{3}$ / 3.

Now find sin(alpha):
sin²(alpha) = 1 - cos²(alpha)
sin²(alpha) = 1 - (1 / $\sqrt{3}$)²
sin²(alpha) = 1 - (1/3)
sin²(alpha) = 2/3
sin(alpha) = $\sqrt{2/3} = \sqrt{2} / \sqrt{3} = \sqrt{6} / 3$.

This matches the previous calculation using projection area. So sin a = $\sqrt{6}$ / 3.