Hitung integral tentu berikut:integral -5 5 |x^2-x-12| dx

233/3

Pembahasan

Untuk menghitung integral tentu |x^2-x-12| dx dari -5 sampai 5, kita perlu mempertimbangkan nilai absolut dari fungsi tersebut. Pertama, kita cari akar-akar dari x^2-x-12 = 0 untuk menentukan di mana ekspresi ini positif atau negatif.

Faktorisasi x^2 - x - 12:
Kita cari dua angka yang jika dikalikan menghasilkan -12 dan jika dijumlahkan menghasilkan -1. Angka tersebut adalah -4 dan 3.
Jadi, x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3).

Akar-akarnya adalah x = 4 dan x = -3.

Ini berarti:
- Untuk x < -3, x^2 - x - 12 > 0 (misal x=-4: 16+4-12=8)
- Untuk -3 < x < 4, x^2 - x - 12 < 0 (misal x=0: -12)
- Untuk x > 4, x^2 - x - 12 > 0 (misal x=5: 25-5-12=8)

Kita perlu menghitung integral dari -5 sampai 5. Batas integral kita harus dipecah berdasarkan perubahan tanda dari x^2 - x - 12:
Integral = integral_{-5}^{-3} (x^2 - x - 12) dx + integral_{-3}^{4} -(x^2 - x - 12) dx + integral_{4}^{5} (x^2 - x - 12) dx

Integral dari x^2 - x - 12 adalah (1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 12x.

Hitung masing-masing bagian:
1. Integral_{-5}^{-3} (x^2 - x - 12) dx:
[(1/3)(-3)^3 - (1/2)(-3)^2 - 12(-3)] - [(1/3)(-5)^3 - (1/2)(-5)^2 - 12(-5)]
[(-9) - (9/2) + 36] - [(-125/3) - (25/2) + 60]
[27 - 4.5] - [-41.67 - 12.5 + 60]
[22.5] - [5.83]
= 16.67 atau 50/3

2. Integral_{-3}^{4} -(x^2 - x - 12) dx = - Integral_{-3}^{4} (x^2 - x - 12) dx:
- [((1/3)(4)^3 - (1/2)(4)^2 - 12(4)) - ((1/3)(-3)^3 - (1/2)(-3)^2 - 12(-3))]
- [((64/3) - 8 - 48) - ((-9) - (9/2) + 36)]
- [(21.33 - 56) - (27 - 4.5)]
- [(-34.67) - (22.5)]
- [-57.17]
= 57.17 atau 171.5/3

3. Integral_{4}^{5} (x^2 - x - 12) dx:
[(1/3)(5)^3 - (1/2)(5)^2 - 12(5)] - [(1/3)(4)^3 - (1/2)(4)^2 - 12(4)]
[(125/3) - (25/2) - 60] - [(64/3) - 8 - 48]
[41.67 - 12.5 - 60] - [21.33 - 56]
[-30.83] - [-34.67]
= 3.84 atau 11.5/3

Total Integral = 50/3 + 171.5/3 + 11.5/3 = 233/3

Mari kita hitung ulang dengan pecahan yang lebih akurat:

Integral dari x^2 - x - 12 adalah F(x) = (1/3)x^3 - (1/2)x^2 - 12x.

Bagian 1: Integral_{-5}^{-3} (x^2 - x - 12) dx = F(-3) - F(-5)
F(-3) = (1/3)(-27) - (1/2)(9) - 12(-3) = -9 - 4.5 + 36 = 22.5 = 45/2
F(-5) = (1/3)(-125) - (1/2)(25) - 12(-5) = -125/3 - 25/2 + 60 = (-250 - 75 + 360)/6 = 35/6
F(-3) - F(-5) = 45/2 - 35/6 = (135 - 35)/6 = 100/6 = 50/3

Bagian 2: Integral_{-3}^{4} -(x^2 - x - 12) dx = -(F(4) - F(-3))
F(4) = (1/3)(64) - (1/2)(16) - 12(4) = 64/3 - 8 - 48 = 64/3 - 56 = (64 - 168)/3 = -104/3
F(4) - F(-3) = -104/3 - 45/2 = (-208 - 135)/6 = -343/6
-(F(4) - F(-3)) = -(-343/6) = 343/6

Bagian 3: Integral_{4}^{5} (x^2 - x - 12) dx = F(5) - F(4)
F(5) = (1/3)(125) - (1/2)(25) - 12(5) = 125/3 - 25/2 - 60 = (250 - 75 - 360)/6 = -185/6
F(5) - F(4) = -185/6 - (-104/3) = -185/6 + 208/6 = 23/6

Total Integral = 50/3 + 343/6 + 23/6 = 100/6 + 343/6 + 23/6 = (100 + 343 + 23)/6 = 466/6 = 233/3

233/3 = 77 dan 2/3 atau sekitar 77.67