Hitung nilai limit di tak hingga dari fungsi berikut.limit

Nilai limitnya adalah 0.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit di tak hingga dari fungsi $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1})$, kita dapat menggunakan metode mengalikan dengan konjugatnya.

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1})$

Kalikan dengan $\frac{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}}$:

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-1})(\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1})}{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+1) - (x^2-1)}{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+1 - x^2+1}{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-1}}$

Sekarang, bagi pembilang dan penyebut dengan $x$ (karena $\sqrt{x^2} = x$ untuk $x \to \infty$):

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2/x}{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x} + \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2/x}{\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}} + \sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}}$

$= \lim_{x \to \infty} \frac{2/x}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + \sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}$

Ketika $x \to \infty$, maka $\frac{2}{x} \to 0$, $\frac{1}{x^2} \to 0$.

$= \frac{0}{\sqrt{1+0} + \sqrt{1-0}}$

$= \frac{0}{\sqrt{1} + \sqrt{1}}$

$= \frac{0}{1 + 1}$

$= \frac{0}{2}$

$= 0$