Hitung nilai p dan q. x^3+2px^2-x+ q dibagi (x^2+2x+2)

p = (-1 ± sqrt(5))/2, q = -5 ± 2*sqrt(5)

Pembahasan

Untuk mencari nilai p dan q, kita bisa menggunakan pembagian polinomial. Misalkan P(x) = x^3 + 2px^2 - x + q dan D(x) = x^2 + 2x + 2. Diketahui bahwa P(x) dibagi D(x) bersisa 2x + 1. Dengan melakukan pembagian polinomial, kita akan mendapatkan hasil bagi H(x) dan sisa S(x) sedemikian sehingga P(x) = D(x) * H(x) + S(x). Setelah melakukan pembagian, kita dapat menyamakan koefisien dari hasil dan sisa untuk menemukan nilai p dan q.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Lakukan pembagian polinomial x^3 + 2px^2 - x + q dengan x^2 + 2x + 2.
2. Hasil bagi akan berupa (x + (2p-2)).
3. Sisa pembagian akan berupa ((4 - 2p^2 - 2p)x + (q - 2(2p-2))).
4. Karena sisa yang diberikan adalah 2x + 1, maka kita samakan koefisiennya:
   Koefisien x: 4 - 2p^2 - 2p = 2
   Koefisien konstanta: q - 2(2p-2) = 1
5. Dari persamaan koefisien x, kita dapatkan -2p^2 - 2p + 2 = 0, atau p^2 + p - 1 = 0. Menggunakan rumus kuadratik, p = (-1 ± sqrt(1 - 4(1)(-1)))/2 = (-1 ± sqrt(5))/2.
6. Dari persamaan koefisien konstanta, kita dapatkan q = 1 + 2(2p-2) = 1 + 4p - 4 = 4p - 3.
7. Substitusikan nilai p yang ditemukan ke dalam persamaan q. Jika p = (-1 + sqrt(5))/2, maka q = 4((-1 + sqrt(5))/2) - 3 = 2(-1 + sqrt(5)) - 3 = -2 + 2*sqrt(5) - 3 = -5 + 2*sqrt(5).
   Jika p = (-1 - sqrt(5))/2, maka q = 4((-1 - sqrt(5))/2) - 3 = 2(-1 - sqrt(5)) - 3 = -2 - 2*sqrt(5) - 3 = -5 - 2*sqrt(5).

Jadi, nilai p dan q adalah p = (-1 ± sqrt(5))/2 dan q = -5 ± 2*sqrt(5).