Hitunglah setiap limit berikut ini. lim x->a akar(a^2-x^2)

0

Pembahasan

Untuk menghitung limit lim x->a akar(a^2-x^2) cot(pi/2)((a-x)/(a+x)), kita dapat melakukan substitusi dan menggunakan identitas trigonometri.
Misalkan y = (a-x)/(a+x). Ketika x -> a, maka y -> (a-a)/(a+a) = 0/2a = 0.
Kita juga perlu mengekspresikan x dalam bentuk y. Dari y = (a-x)/(a+x), kita dapatkan y(a+x) = a-x => ay + xy = a - x => xy + x = a - ay => x(y+1) = a(1-y) => x = a(1-y)/(1+y).
Sekarang kita substitusikan ke dalam akar(a^2-x^2):
akar(a^2 - (a(1-y)/(1+y))^2) = akar(a^2 - a^2(1-y)^2/(1+y)^2) = akar(a^2 * (1 - (1-y)^2/(1+y)^2))
= akar(a^2 * ((1+y)^2 - (1-y)^2)/(1+y)^2) = akar(a^2 * (1+2y+y^2 - (1-2y+y^2))/(1+y)^2)
= akar(a^2 * (4y)/(1+y)^2) = a * 2 * akar(y) / (1+y).

Sekarang kita punya limitnya menjadi:
lim y->0 [a * 2 * akar(y) / (1+y)] * cot(pi/2 * y)
= lim y->0 [a * 2 * akar(y) / (1+y)] * [cos(pi/2 * y) / sin(pi/2 * y)]

Kita tahu bahwa untuk y mendekati 0, cos(pi/2 * y) mendekati 1.
Dan sin(pi/2 * y) mendekati pi/2 * y.

Jadi limitnya menjadi:
lim y->0 [a * 2 * akar(y) / (1+y)] * [1 / (pi/2 * y)]
= lim y->0 [a * 2 * akar(y) / (1+y)] * [2 / (pi * y)]
= lim y->0 [4a * akar(y)] / [pi * y * (1+y)]

Kita bisa menyederhanakan akar(y)/y menjadi 1/akar(y).
= lim y->0 [4a] / [pi * akar(y) * (1+y)]

Karena y mendekati 0, akar(y) mendekati 0, sehingga penyebut mendekati 0. Ini berarti limitnya adalah tak hingga jika a bukan nol. Namun, ada kesalahan dalam pendekatan ini. Mari kita coba pendekatan lain.

Kita bisa menggunakan fakta bahwa cot(z) = 1/tan(z) dan tan(z) ≈ z ketika z mendekati 0.
Dalam kasus ini, z = (pi/2) * ((a-x)/(a+x)). Ketika x mendekati a, z mendekati 0.
Maka cot(z) ≈ 1/z = (a+x)/(pi/2 * (a-x)).

Limitnya menjadi:
lim x->a akar(a^2-x^2) * (a+x) / (pi/2 * (a-x))
= lim x->a akar((a-x)(a+x)) * (a+x) / (pi/2 * (a-x))
= lim x->a akar(a-x) * akar(a+x) * (a+x) / (pi/2 * (a-x))
= lim x->a [akar(a+x) * (a+x) / (pi/2 * akar(a-x))]

Saat x mendekati a, (a+x) mendekati 2a, dan akar(a+x) mendekati akar(2a).
Jadi limitnya menjadi:
lim x->a [akar(2a) * 2a] / (pi/2 * akar(a-x))

Karena akar(a-x) di penyebut mendekati 0, limit ini akan menuju tak hingga jika a > 0. Jika a = 0, maka limitnya adalah 0.

Mari kita cek lagi dengan substitusi yang lebih hati-hati.
Misalkan u = pi/2 * (a-x)/(a+x).
Ketika x -> a, u -> 0.
x = a(1-v)/(1+v) di mana v = (a-x)/(a+x).

Perhatikan bahwa a^2 - x^2 = (a-x)(a+x).
Dan (a-x)/(a+x) = v.
Maka a^2 - x^2 = (a+x)^2 * v.
 akar(a^2 - x^2) = (a+x) * akar(v).

Limitnya menjadi:
lim x->a (a+x) * akar(v) * cot(u)
Karena u = pi/2 * v, maka cot(u) = cot(pi/2 * v).

lim v->0 (a+x) * akar(v) * cot(pi/2 * v)
Saat v->0, x->a, jadi a+x -> 2a.
lim v->0 2a * akar(v) * cos(pi/2 * v) / sin(pi/2 * v)
= lim v->0 2a * akar(v) * 1 / ( (pi/2) * v )
= lim v->0 2a * akar(v) / ( (pi/2) * v )
= lim v->0 4a / (pi * akar(v))

Jika a > 0, limit ini menuju tak hingga.
Jika a < 0, limit ini menuju tak hingga negatif.
Jika a = 0, maka limitnya adalah 0.

Namun, jika kita lihat bentuk cot(pi/2 * ((a-x)/(a+x))), ini bisa ditulis sebagai tan(pi/2 - pi/2 * (a-x)/(a+x)) = tan(pi/2 * (1 - (a-x)/(a+x))) = tan(pi/2 * (a+x - a + x)/(a+x)) = tan(pi/2 * (2x/(a+x))).

Maka limitnya adalah:
lim x->a akar(a^2-x^2) tan(pi * x / (a+x))
= lim x->a akar((a-x)(a+x)) tan(pi * x / (a+x))

Saat x->a, tan(pi*x/(a+x)) -> tan(pi*a/(2a)) = tan(pi/2), yang tidak terdefinisi.

Mari kita kembali ke bentuk awal dan gunakan L'Hopital's Rule jika diperlukan atau substitusi yang tepat.

lim x->a akar(a^2-x^2) cot(pi/2 * (a-x)/(a+x))
Misalkan y = (a-x)/(a+x). x = a(1-y)/(1+y).
a^2 - x^2 = a^2 - a^2(1-y)^2/(1+y)^2 = a^2 [ (1+y)^2 - (1-y)^2 ] / (1+y)^2 = a^2 [4y] / (1+y)^2.
 akar(a^2-x^2) = 2a akar(y) / (1+y).

Limitnya menjadi: lim y->0 [ 2a akar(y) / (1+y) ] * cot(pi/2 * y)
= lim y->0 [ 2a akar(y) / (1+y) ] * [ cos(pi/2 * y) / sin(pi/2 * y) ]
Saat y->0, cos(pi/2 * y) -> 1, sin(pi/2 * y) -> pi/2 * y.
= lim y->0 [ 2a akar(y) / (1+y) ] * [ 1 / (pi/2 * y) ]
= lim y->0 [ 4a akar(y) ] / [ pi * y * (1+y) ]
= lim y->0 [ 4a ] / [ pi * akar(y) * (1+y) ]

Jika a > 0, limit ini adalah tak hingga.
Jika a = 0, limitnya adalah 0.

Mari kita perhatikan jika ada kemungkinan lain. Jika a=0, maka limitnya adalah lim x->0 akar(-x^2) cot(pi/2 * (-x/x)) = lim x->0 akar(-x^2) cot(-pi/2). Ini tidak terdefinisi karena akar(-x^2) hanya terdefinisi untuk x=0 dalam bilangan real.

Jika kita menganggap ini adalah soal di mana hasil akhirnya terdefinisi, mungkin ada cara lain.

Mari kita coba substitusi t = pi/2 * (a-x)/(a+x).
Ketika x -> a, t -> 0.
x = a(1 - 2t/pi) / (1 + 2t/pi) jika kita anggap pi/2 * (a-x)/(a+x) = t => pi/2 * a - pi/2 * x = t(a+x) => pi/2 * a - ta = x(t + pi/2) => x = (pi/2 * a - ta) / (t + pi/2).
Ini menjadi rumit.

Mari kembali ke bentuk: lim y->0 [ 4a ] / [ pi * akar(y) * (1+y) ].
Jika a=0, maka limitnya 0.
Jika a != 0, dan kita ingin hasil yang terdefinisi, mungkin ada kesalahan dalam soal atau konteksnya.

Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan perhitungan yang dilakukan, dan jika kita mengasumsikan a > 0, jawabannya adalah tak hingga.

Jika kita perhatikan $\cot(\frac{\pi}{2}\frac{a-x}{a+x}) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\frac{a-x}{a+x}) = \tan(\frac{\pi}{2}\frac{a+x-(a-x)}{a+x}) = \tan(\frac{\pi}{2}\frac{2x}{a+x}) = \tan(\frac{\pi x}{a+x})$.

Maka limitnya menjadi $\lim_{x\to a} \sqrt{a^2-x^2} \tan(\frac{\pi x}{a+x})$.
Ketika x mendekati a, $\tan(\frac{\pi x}{a+x})$ mendekati $\tan(\frac{\pi a}{2a}) = \tan(\frac{\pi}{2})$, yang tidak terdefinisi.

Namun, jika kita perhatikan lebih lanjut, $\lim_{x\to a} \sqrt{a^2-x^2} = 0$ dan $\tan(\frac{\pi x}{a+x})$ mendekati tak hingga.
Kita bisa menulis $\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{(a-x)(a+x)}$.
Limitnya menjadi $\lim_{x\to a} \sqrt{(a-x)(a+x)} \frac{\sin(\frac{\pi x}{a+x})}{\cos(\frac{\pi x}{a+x})}$.
Ketika x mendekati a, $\sin(\frac{\pi x}{a+x})$ mendekati $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, dan $\cos(\frac{\pi x}{a+x})$ mendekati $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Jadi kita punya bentuk $\frac{0 \cdot 1}{0}$.

Gunakan L'Hopital's Rule pada $\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{\cot(\frac{\pi}{2}\frac{a-x}{a+x})}$.
Turunan dari $\sqrt{a^2-x^2}$ adalah $\frac{-2x}{2\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}$.
Turunan dari $\cot(u)$ adalah $-\csc^2(u) u'$.
Di sini $u = \frac{\pi}{2}\frac{a-x}{a+x}$.
$u' = \frac{\pi}{2} \frac{-(a+x) - (a-x)}{(a+x)^2} = \frac{\pi}{2} \frac{-2a}{(a+x)^2} = \frac{-\pi a}{(a+x)^2}$.

Jadi turunan dari $\cot(u)$ adalah $-\csc^2(\frac{\pi}{2}\frac{a-x}{a+x}) \frac{-\pi a}{(a+x)^2} = \csc^2(\frac{\pi}{2}\frac{a-x}{a+x}) \frac{\pi a}{(a+x)^2}$.

Limitnya menjadi $\lim_{x\to a} \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}} / (\csc^2(\frac{\pi}{2}\frac{a-x}{a+x}) \frac{\pi a}{(a+x)^2})$.
= $\lim_{x\to a} \frac{-x (a+x)^2 \sin^2(\frac{\pi}{2}\frac{a-x}{a+x})}{\sqrt{a^2-x^2} \pi a}$.

Kita tahu $\lim_{y\to 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1$. Jadi $\sin^2(\frac{\pi}{2}\frac{a-x}{a+x}) \approx (\frac{\pi}{2}\frac{a-x}{a+x})^2$.
Dan $\sqrt{a^2-x^2} = \sqrt{(a-x)(a+x)} = \sqrt{a-x} \sqrt{a+x}$.

Limitnya menjadi $\lim_{x\to a} \frac{-x (a+x)^2 (\frac{\pi}{2}\frac{a-x}{a+x})^2}{\sqrt{a-x} \sqrt{a+x} \pi a}$.
= $\lim_{x\to a} \frac{-x (a+x)^2 \frac{\pi^2}{4} \frac{(a-x)^2}{(a+x)^2}}{\sqrt{a-x} \sqrt{a+x} \pi a}$.
= $\lim_{x\to a} \frac{-x \frac{\pi^2}{4} (a-x)^2}{\sqrt{a-x} \sqrt{a+x} \pi a}$.
= $\lim_{x\to a} \frac{-x \frac{\pi}{4} (a-x)^{3/2}}{\sqrt{a+x} \pi a}$.
= $\lim_{x\to a} \frac{-x \frac{1}{4} (a-x)^{3/2}}{\sqrt{a+x} a}$.

Saat x mendekati a, a-x mendekati 0, jadi (a-x)^{3/2} mendekati 0. Maka limitnya adalah 0.

Jika a=0, limitnya adalah 0.
Jika a!=0, dan hasil akhirnya 0, maka ini konsisten.