Hitunglah integral 0 pi integral 0 x x sin y dy dx.

Hasilnya adalah $\frac{1}{2}pi^2 + 2$

Pembahasan

Untuk menghitung integral rangkap $\int_{0}^{pi} \int_{0}^{x} x \sin(y) dy dx$, kita lakukan integrasi terhadap y terlebih dahulu:

$\int_{0}^{x} x \sin(y) dy = x [-\cos(y)]_{0}^{x} = x (-\cos(x) - (-\cos(0))) = x (1 - \cos(x))$

Selanjutnya, kita integrasikan hasilnya terhadap x:

$\int_{0}^{pi} x (1 - \cos(x)) dx = \int_{0}^{pi} (x - x \cos(x)) dx$

Kita pisahkan menjadi dua integral: $\int_{0}^{pi} x dx$ dan $\int_{0}^{pi} x \cos(x) dx$.

Integral pertama:
$\int_{0}^{pi} x dx = [\frac{1}{2}x^2]_{0}^{pi} = \frac{1}{2}pi^2 - 0 = \frac{1}{2}pi^2$

Integral kedua, kita gunakan integrasi parsial (∫u dv = uv - ∫v du) dengan u = x dan dv = cos(x) dx. Maka du = dx dan v = sin(x).
$\int_{0}^{pi} x \cos(x) dx = [x \sin(x)]_{0}^{pi} - \int_{0}^{pi} \sin(x) dx$
$= (pi \sin(pi) - 0 \sin(0)) - [-\cos(x)]_{0}^{pi}$
$= (0 - 0) - (-\cos(pi) - (-\cos(0)))$
$= 0 - (-(-1) - (-1)) = 0 - (1 + 1) = -2$

Jadi, hasil integral rangkapnya adalah:
$\frac{1}{2}pi^2 - (-2) = \frac{1}{2}pi^2 + 2$