Hitunglah integral (1)/(1+cos x) dx . (Petunjuk: Kalikan

Hasil integralnya adalah tan(x/2) + C.

Pembahasan

Untuk menghitung integral dari 1/(1 + cos x) dx, kita akan menggunakan petunjuk yang diberikan, yaitu mengalikan integran dengan (1 - cos x) / (1 - cos x).

Integral = ∫ [1 / (1 + cos x)] dx
Integral = ∫ [(1 / (1 + cos x)) * ((1 - cos x) / (1 - cos x))] dx
Integral = ∫ [(1 - cos x) / (1 - cos^2 x)] dx

Menggunakan identitas trigonometri sin^2 x + cos^2 x = 1, maka 1 - cos^2 x = sin^2 x.

Integral = ∫ [(1 - cos x) / sin^2 x] dx
Integral = ∫ [1/sin^2 x - cos x / sin^2 x] dx

Kita tahu bahwa 1/sin^2 x = cosec^2 x dan cos x / sin^2 x = (cos x / sin x) * (1 / sin x) = cot x * cosec x.

Integral = ∫ [cosec^2 x - cot x * cosec x] dx

Sekarang, kita integralkan masing-masing suku:
Integral dari cosec^2 x adalah -cot x.
Integral dari cot x * cosec x adalah -cosec x.

Jadi, integralnya adalah:
Integral = -cot x - (-cosec x) + C
Integral = -cot x + cosec x + C

Atau bisa ditulis sebagai:
Integral = (cos x / sin x) - (1 / sin x) + C
Integral = (cos x - 1) / sin x + C

Menggunakan identitas sudut ganda, 1 - cos x = 2 sin^2(x/2) dan sin x = 2 sin(x/2) cos(x/2).

Integral = [2 sin^2(x/2)] / [2 sin(x/2) cos(x/2)] + C
Integral = sin(x/2) / cos(x/2) + C
Integral = tan(x/2) + C

Jadi, hasil dari integral (1)/(1+cos x) dx adalah tan(x/2) + C.