Hitunglah integral tak tentu berikut int akar(4 x-x^(2)) d

2arcsin((x-2)/2) + ((x-2)√(4x-x²))/2 + C

Pembahasan

Untuk menghitung integral tak tentu dari \int \sqrt{4x - x^2} dx, kita perlu menggunakan substitusi trigonometri karena bentuk di dalam akar menyerupai bagian dari lingkaran.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1.  **Lengkapi kuadrat sempurna** pada ekspresi di dalam akar: 4x - x^2.
    -x^2 + 4x = -(x^2 - 4x)
    Tambahkan dan kurangkan (4/2)^2 = 4 di dalam kurung:
    -(x^2 - 4x + 4 - 4) = -((x - 2)^2 - 4) = 4 - (x - 2)^2
    Jadi, ekspresi di dalam akar adalah \sqrt{4 - (x - 2)^2}.

2.  **Lakukan substitusi trigonometri**.
    Misalkan u = x - 2. Maka du = dx.
    Integral menjadi \int \sqrt{4 - u^2} du.
    Sekarang, misalkan u = 2\sin(\theta). Maka du = 2\cos(\theta) d\theta.
    Substitusikan ke dalam integral:
    \int \sqrt{4 - (2\sin(\theta))^2} \cdot 2\cos(\theta) d\theta
    = \int \sqrt{4 - 4\sin^2(\theta)} \cdot 2\cos(\theta) d\theta
    = \int \sqrt{4(1 - \sin^2(\theta))} \cdot 2\cos(\theta) d\theta
    = \int \sqrt{4\cos^2(\theta)} \cdot 2\cos(\theta) d\theta
    = \int 2\cos(\theta) \cdot 2\cos(\theta) d\theta
    = \int 4\cos^2(\theta) d\theta

3.  **Gunakan identitas trigonometri** untuk \cos^2(\theta).
    \cos^2(\theta) = (1 + \cos(2\theta))/2
    Integral menjadi:
    \int 4 \cdot \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta
    = \int 2(1 + \cos(2\theta)) d\theta
    = \int (2 + 2\cos(2\theta)) d\theta

4.  **Integralkan terhadap \theta**.
    = 2\theta + 2 \cdot \frac{\sin(2\theta)}{2} + C
    = 2\theta + \sin(2\theta) + C

5.  **Substitusikan kembali** untuk mendapatkan hasil dalam bentuk x.
    Dari u = 2\sin(\theta), maka \sin(\theta) = u/2.
    Ini berarti \theta = \arcsin(u/2).
    Juga, \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta).
    Jika \sin(\theta) = u/2, kita bisa membentuk segitiga siku-siku dengan sisi depan u, sisi miring 2. Sisi samping adalah \sqrt{2^2 - u^2} = \sqrt{4 - u^2}.
    Jadi, \cos(\theta) = \sqrt{4 - u^2} / 2.
    Maka, \sin(2\theta) = 2 \cdot (u/2) \cdot (\sqrt{4 - u^2} / 2) = u\sqrt{4 - u^2} / 2.

    Substitusikan kembali u = x - 2:
    2\theta = 2\arcsin((x-2)/2)
    \sin(2\theta) = (x-2)\sqrt{4 - (x-2)^2} / 2 = (x-2)\sqrt{4 - (x^2 - 4x + 4)} / 2 = (x-2)\sqrt{4x - x^2} / 2

    Jadi, hasil integralnya adalah:
    2\arcsin((x-2)/2) + (x-2)\sqrt{4x - x^2} / 2 + C