Rancang suatu rumus untuk setiap pola barisan yang

Rumus suku ke-n adalah Un = 3n^2 + 3. Rumus ini terbukti benar menggunakan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk merancang rumus barisan 6, 15, 30, 51, 78, 111, ... dan mengujinya dengan induksi matematika, kita perlu menganalisis pola perbedaan antar suku:

Perbedaan tingkat 1:
15 - 6 = 9
30 - 15 = 15
51 - 30 = 21
78 - 51 = 27
111 - 78 = 33

Perbedaan antar suku pada tingkat 1 membentuk barisan aritmatika: 9, 15, 21, 27, 33, ... dengan beda 6.

Perbedaan tingkat 2:
15 - 9 = 6
21 - 15 = 6
27 - 21 = 6
33 - 27 = 6

Karena perbedaan tingkat 2 konstan (6), maka rumus suku ke-n (Un) adalah polinomial derajat 2 dalam bentuk Un = an^2 + bn + c.

Untuk mencari nilai a, b, dan c:
1. Beda tingkat 2 adalah 2a. Jadi, 2a = 6 => a = 3.
2. Suku pertama pada perbedaan tingkat 1 adalah 3a + b. Jadi, 3(3) + b = 9 => 9 + b = 9 => b = 0.
3. Suku pertama barisan adalah a + b + c. Jadi, 3 + 0 + c = 6 => c = 3.

Jadi, rumus suku ke-n adalah Un = 3n^2 + 3.

Pengujian dengan Induksi Matematika:
Basis Induksi (n=1):
U1 = 3(1)^2 + 3 = 3 + 3 = 6. Sesuai dengan suku pertama barisan.

Asumsi Induksi (n=k):
Asumsikan rumus berlaku untuk n = k, yaitu Uk = 3k^2 + 3.

Langkah Induksi (n=k+1):
Kita perlu menunjukkan bahwa Uk+1 = 3(k+1)^2 + 3.
Uk+1 = Uk + (suku ke-(k+1) dari perbedaan tingkat 1).
Suku ke-n dari perbedaan tingkat 1 adalah 9 + (n-1)6 = 9 + 6n - 6 = 6n + 3.
Jadi, suku ke-(k+1) dari perbedaan tingkat 1 adalah 6(k+1) + 3 = 6k + 6 + 3 = 6k + 9.

Maka, Uk+1 = Uk + (6k + 9)
Uk+1 = (3k^2 + 3) + (6k + 9)
Uk+1 = 3k^2 + 6k + 12

Sekarang kita bandingkan dengan rumus yang diharapkan:
3(k+1)^2 + 3 = 3(k^2 + 2k + 1) + 3 = 3k^2 + 6k + 3 + 3 = 3k^2 + 6k + 6.

Terdapat kesalahan dalam langkah terakhir saya dalam menghitung suku ke-(k+1) dari perbedaan tingkat 1.

Mari kita perbaiki.
Perbedaan tingkat 1: 9, 15, 21, 27, 33, ...
Rumus suku ke-n dari barisan perbedaan tingkat 1: Vn = 9 + (n-1)6 = 6n + 3.

Uk+1 = Uk + Vk
Uk+1 = (3k^2 + 3) + (6k + 3)
Uk+1 = 3k^2 + 6k + 6

Sekarang kita cocokkan dengan rumus yang diharapkan:
3(k+1)^2 + 3 = 3(k^2 + 2k + 1) + 3 = 3k^2 + 6k + 3 + 3 = 3k^2 + 6k + 6.

Keduanya cocok. Jadi, rumus Un = 3n^2 + 3 terbukti benar dengan induksi matematika.