Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 12mathKalkulus

Hitunglah lim _(x -> 0) (sec x-1)/(2 x^(2))=..

Pertanyaan

Hitunglah nilai dari $\lim_{x \to 0} \frac{\sec x - 1}{2x^2}$

Solusi

Verified

1/4

Pembahasan

Untuk menghitung limit $\lim_{x \to 0} \frac{\sec x - 1}{2x^2}$, kita bisa menggunakan beberapa metode, termasuk substitusi langsung, manipulasi aljabar, atau aturan L'Hôpital jika bentuknya adalah $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$. Pertama, mari kita substitusikan x = 0 ke dalam fungsi: $\sec(0) = \frac{1}{\cos(0)} = \frac{1}{1} = 1$. Jadi, $\sec(0) - 1 = 1 - 1 = 0$. Sementara penyebutnya, $2(0)^2 = 0$. Karena kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita bisa menggunakan aturan L'Hôpital atau manipulasi trigonometri. Metode 1: Menggunakan Identitas Trigonometri Kita tahu bahwa $\sec x = \frac{1}{\cos x}$. Jadi, persamaan limit menjadi: $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos x} - 1}{2x^2}$ Samakan penyebut di bagian pembilang: $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - \cos x}{\cos x}}{2x^2}$ Pindahkan $\cos x$ ke penyebut: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{2x^2 \cos x}$ Kita bisa memisahkan konstanta 2 dari penyebut: $\frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2 \cos x}$ Kita tahu dari identitas trigonometri bahwa $1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})$. Namun, seringkali lebih mudah menggunakan identitas $1 - \cos x$ yang berkaitan dengan $\frac{1 - \cos x}{x^2}$. Kita tahu limit standar: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$. Jadi, kita bisa menulis ulang ekspresi sebagai: $\frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \left( \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x} \right)$ Kita bisa memisahkan limit karena keduanya ada: $\frac{1}{2} \left( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} \right)$ Substitusikan nilai limit yang diketahui: $\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{\cos 0} \right)$ $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$ $\frac{1}{4}$ Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hôpital Karena kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita bisa menerapkan aturan L'Hôpital dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah. Pembilang: $f(x) = \sec x - 1$. Turunannya: $f'(x) = \sec x \tan x$. Penyebut: $g(x) = 2x^2$. Turunannya: $g'(x) = 4x$. Sekarang hitung limit dari rasio turunan: $\lim_{x \to 0} \frac{\sec x \tan x}{4x}$ Substitusikan x = 0: $\frac{\sec 0 \tan 0}{4 \cdot 0} = \frac{1 \cdot 0}{0} = \frac{0}{0}$ Kita masih mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, jadi kita terapkan aturan L'Hôpital lagi. Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(\sec x \tan x) = (\sec x \tan x)\tan x + \sec x (\sec^2 x) = \sec x \tan^2 x + \sec^3 x$. Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(4x) = 4$. Sekarang hitung limit dari rasio turunan kedua: $\lim_{x \to 0} \frac{\sec x \tan^2 x + \sec^3 x}{4}$ Substitusikan x = 0: $\frac{\sec 0 \tan^2 0 + \sec^3 0}{4}$ $\frac{(1)(0)^2 + (1)^3}{4}$ $\frac{0 + 1}{4}$ $\frac{1}{4}$ Kedua metode memberikan hasil yang sama. Jadi, nilai dari $\lim_{x \to 0} \frac{\sec x - 1}{2x^2}$ adalah $\frac{1}{4}$.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Limit Fungsi
Section: Limit Trigonometri, Aturan L Hopital

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...