Hitunglah lim _(x -> 0) (sec x-1)/(2 x^(2))=..

1/4

Pembahasan

Untuk menghitung limit $\lim_{x \to 0} \frac{\sec x - 1}{2x^2}$, kita bisa menggunakan beberapa metode, termasuk substitusi langsung, manipulasi aljabar, atau aturan L'Hôpital jika bentuknya adalah $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$.

Pertama, mari kita substitusikan x = 0 ke dalam fungsi:
$\sec(0) = \frac{1}{\cos(0)} = \frac{1}{1} = 1$.
Jadi, $\sec(0) - 1 = 1 - 1 = 0$.
Sementara penyebutnya, $2(0)^2 = 0$.
Karena kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita bisa menggunakan aturan L'Hôpital atau manipulasi trigonometri.

Metode 1: Menggunakan Identitas Trigonometri
Kita tahu bahwa $\sec x = \frac{1}{\cos x}$. Jadi, persamaan limit menjadi:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos x} - 1}{2x^2}$
Samakan penyebut di bagian pembilang:
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - \cos x}{\cos x}}{2x^2}$
Pindahkan $\cos x$ ke penyebut:
$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{2x^2 \cos x}$
Kita bisa memisahkan konstanta 2 dari penyebut:
$\frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2 \cos x}$
Kita tahu dari identitas trigonometri bahwa $1 - \cos x = 2\sin^2(\frac{x}{2})$. Namun, seringkali lebih mudah menggunakan identitas $1 - \cos x$ yang berkaitan dengan $\frac{1 - \cos x}{x^2}$.

Kita tahu limit standar: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$.
Jadi, kita bisa menulis ulang ekspresi sebagai:
$\frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \left( \frac{1 - \cos x}{x^2} \cdot \frac{1}{\cos x} \right)$
Kita bisa memisahkan limit karena keduanya ada:
$\frac{1}{2} \left( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \right) \cdot \left( \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} \right)$
Substitusikan nilai limit yang diketahui:
$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \right) \cdot \left( \frac{1}{\cos 0} \right)$
$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1}$
$\frac{1}{4}$

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hôpital
Karena kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{0}$, kita bisa menerapkan aturan L'Hôpital dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.

Pembilang: $f(x) = \sec x - 1$. Turunannya: $f'(x) = \sec x \tan x$.

Penyebut: $g(x) = 2x^2$. Turunannya: $g'(x) = 4x$.

Sekarang hitung limit dari rasio turunan:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sec x \tan x}{4x}$
Substitusikan x = 0:
$\frac{\sec 0 \tan 0}{4 \cdot 0} = \frac{1 \cdot 0}{0} = \frac{0}{0}$
Kita masih mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, jadi kita terapkan aturan L'Hôpital lagi.

Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(\sec x \tan x) = (\sec x \tan x)\tan x + \sec x (\sec^2 x) = \sec x \tan^2 x + \sec^3 x$.
Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(4x) = 4$.

Sekarang hitung limit dari rasio turunan kedua:
$\lim_{x \to 0} \frac{\sec x \tan^2 x + \sec^3 x}{4}$
Substitusikan x = 0:
$\frac{\sec 0 \tan^2 0 + \sec^3 0}{4}$
$\frac{(1)(0)^2 + (1)^3}{4}$
$\frac{0 + 1}{4}$
$\frac{1}{4}$

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Jadi, nilai dari $\lim_{x \to 0} \frac{\sec x - 1}{2x^2}$ adalah $\frac{1}{4}$.