Diketahui 1 - akar(3) adalah salah satu akar x^2 - ax + b =

Tidak ada nilai terbesar untuk a karena setiap bilangan bulat a dapat membentuk persamaan kuadrat yang valid dengan b sebagai bilangan real.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat dan sifat koefisiennya.

Diketahui persamaan kuadrat adalah $x^2 - ax + b = 0$. 
Salah satu akar persamaan tersebut adalah $x_1 = 1 - \sqrt{3}$.
Diketahui bahwa $b$ adalah bilangan real dan $a$ adalah bilangan bulat.

Karena koefisien $a$ (koefisien $x$) adalah bilangan bulat dan $b$ (konstanta) adalah bilangan real, maka jika ada akar yang berbentuk irasional (mengandung akar), akar pasangannya juga harus berbentuk irasional yang sekawan.

Akar sekawan dari $1 - \sqrt{3}$ adalah $1 + \sqrt{3}$.
Jadi, akar kedua persamaan tersebut adalah $x_2 = 1 + \sqrt{3}$.

Kita bisa menggunakan hubungan antara akar-akar dan koefisien persamaan kuadrat:
1. Jumlah akar-akar: $x_1 + x_2 = -(\frac{-a}{1}) = a$
2. Hasil kali akar-akar: $x_1 \cdot x_2 = \frac{b}{1} = b$

Mari kita hitung jumlah akar-akar:
$a = x_1 + x_2 = (1 - \sqrt{3}) + (1 + \sqrt{3})$
$a = 1 - \sqrt{3} + 1 + \sqrt{3}$
$a = 1 + 1$
$a = 2$

Karena $a=2$ adalah bilangan bulat, ini konsisten dengan informasi yang diberikan.

Sekarang, mari kita hitung hasil kali akar-akar untuk mencari nilai $b$:
$b = x_1 \cdot x_2 = (1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})$
Ini adalah bentuk $(p-q)(p+q) = p^2 - q^2$.
$b = 1^2 - (\sqrt{3})^2$
$b = 1 - 3$
$b = -2$

Karena $b=-2$ adalah bilangan real, ini juga konsisten dengan informasi yang diberikan.

Persamaan kuadratnya adalah $x^2 - 2x - 2 = 0$.

Namun, soal menanyakan "Nilai terbesar a adalah ...". Ini mengindikasikan bahwa mungkin ada lebih dari satu kemungkinan nilai $a$, atau ada kondisi lain yang perlu dipertimbangkan.

Mari kita telaah kembali asumsi bahwa akar sekawan harus digunakan. Asumsi ini berlaku jika koefisien persamaan kuadrat semuanya rasional. Di sini, $a$ adalah bilangan bulat (dan karenanya rasional), tetapi $b$ hanya dinyatakan sebagai bilangan real. Namun, jika kita menggunakan akar $1 - \sqrt{3}$ dan $1 + \sqrt{3}$, kita mendapatkan $a=2$ (bilangan bulat) dan $b=-2$ (bilangan real). Ini adalah solusi yang valid.

Apakah mungkin $b$ adalah bilangan real yang tidak rasional, dan $a$ adalah bilangan bulat, sehingga salah satu akarnya adalah $1 - \sqrt{3}$? 

Jika $x_1 = 1 - \sqrt{3}$ adalah akar dari $x^2 - ax + b = 0$, maka:
$(1 - \sqrt{3})^2 - a(1 - \sqrt{3}) + b = 0$
$(1 - 2\sqrt{3} + 3) - a + a\sqrt{3} + b = 0$
$(4 - 2\sqrt{3}) - a + a\sqrt{3} + b = 0$
$(4 - a + b) + (a - 2)\sqrt{3} = 0$

Agar persamaan ini bernilai nol, kedua bagian (rasional dan irasional) harus bernilai nol secara terpisah, jika koefisiennya rasional. Di sini, $a$ adalah bilangan bulat (rasional) dan $b$ adalah bilangan real.

Agar $(4 - a + b) + (a - 2)\sqrt{3} = 0$ terpenuhi:

Kasus 1: $a$ dan $b$ adalah bilangan rasional.
Dalam kasus ini, kita harus memiliki:
$a - 2 = 0 	\implies a = 2$
Dan
$4 - a + b = 0 	\implies 4 - 2 + b = 0 	\implies 2 + b = 0 	\implies b = -2$.
Ini memberikan $a=2$, yang merupakan bilangan bulat, dan $b=-2$, yang merupakan bilangan real. Ini adalah solusi yang kita temukan sebelumnya.

Kasus 2: $b$ adalah bilangan real (tidak harus rasional).
Kita punya $(4 - a + b) = -(a - 2)\sqrt{3}$.
$b = a - 4 - (a - 2)\sqrt{3}$.
Karena $a$ adalah bilangan bulat, maka $a-4$ adalah bilangan bulat. $a-2$ juga bilangan bulat.
Jika $a=2$, maka $b = 2 - 4 - (2 - 2)\sqrt{3} = -2 - 0 = -2$. Ini kembali ke kasus 1.

Jika $a \neq 2$, maka $a-2$ adalah bilangan bulat bukan nol. Dalam hal ini, $b$ akan menjadi bilangan irasional karena $b = (a-4) - (a-2)\sqrt{3}$.

Soal menyatakan bahwa $a$ adalah bilangan bulat, dan $b$ adalah bilangan real. Persamaan kuadrat $x^2 - ax + b = 0$ memiliki akar $x_1 = 1 - \sqrt{3}$.

Kita punya $a = x_1 + x_2$ dan $b = x_1 x_2$. 
Kita tahu $x_1 = 1 - \sqrt{3}$.
Jadi, $a = (1 - \sqrt{3}) + x_2$ dan $b = (1 - \sqrt{3}) x_2$.

Karena $a$ adalah bilangan bulat, maka $a - (1 - \sqrt{3}) = x_2$. 
$x_2 = (a - 1) + \sqrt{3}$.

Karena $b$ adalah bilangan real, substitusikan $x_2$ ke dalam persamaan untuk $b$:
$b = (1 - \sqrt{3})((a - 1) + \sqrt{3})$
$b = (1)(a-1) + 1(\sqrt{3}) - \sqrt{3}(a-1) - \sqrt{3}(\sqrt{3})$
$b = a - 1 + \sqrt{3} - a\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3$
$b = (a - 1 - 3) + (1 + 1 - a)\sqrt{3}$
$b = (a - 4) + (2 - a)\sqrt{3}$

Karena $b$ adalah bilangan real, ini selalu benar untuk setiap nilai $a$ (bilangan bulat) dan nilai $b$ yang dihasilkan. Namun, agar persamaan $x^2 - ax + b = 0$ valid dengan akar $1 - \sqrt{3}$, koefisien $a$ dan $b$ harus memenuhi hubungan tersebut.

Kita tahu bahwa $a$ adalah bilangan bulat. Ekspresi $b = (a - 4) + (2 - a)\sqrt{3}$ menunjukkan bagaimana $b$ bergantung pada $a$. Agar $b$ menjadi bilangan real, bentuk ini sudah cukup.

Namun, jika kita ingin akar-akar tersebut benar-benar memenuhi persamaan kuadrat, maka koefisien $a$ dan $b$ haruslah sedemikian rupa.

Jika kita kembali ke $(4 - a + b) + (a - 2)\sqrt{3} = 0$. 
Kita memiliki satu persamaan dengan dua variabel ($a$ dan $b$).
Kita tahu $a$ adalah bilangan bulat.

Jika $a=2$, maka $0 + (0)\sqrt{3} = 0$, yang berarti $0=0$. Dalam kasus ini, $b = 2 - 4 - (2-2)\sqrt{3} = -2$. Jadi $a=2$ adalah solusi yang mungkin.

Jika $a 
eq 2$, maka agar persamaan $(4 - a + b) + (a - 2)\sqrt{3} = 0$ terpenuhi, dan $a$ adalah bilangan bulat, $b$ bisa jadi bilangan real yang tidak rasional.

Contoh:
Jika $a=3$, maka $b = (3-4) + (2-3)\sqrt{3} = -1 - \sqrt{3}$.
Persamaan kuadratnya menjadi $x^2 - 3x + (-1 - \sqrt{3}) = 0$.
Mari kita cek apakah $1 - \sqrt{3}$ adalah akar:
$(1 - \sqrt{3})^2 - 3(1 - \sqrt{3}) + (-1 - \sqrt{3})$
$(1 - 2\sqrt{3} + 3) - 3 + 3\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3}$
$4 - 2\sqrt{3} - 3 + 3\sqrt{3} - 1 - \sqrt{3}$
$(4 - 3 - 1) + (-2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3})$
$0 + (1\sqrt{3} - \sqrt{3})$
$0 + 0 = 0$.
Jadi, $a=3$ juga merupakan solusi yang mungkin, dengan $b = -1 - \sqrt{3}$.

Jika $a=1$, maka $b = (1-4) + (2-1)\sqrt{3} = -3 + \sqrt{3}$.
Persamaan kuadratnya adalah $x^2 - x + (-3 + \sqrt{3}) = 0$.
Cek akar $1 - \sqrt{3}$: 
$(1 - \sqrt{3})^2 - 1(1 - \sqrt{3}) + (-3 + \sqrt{3})$
$(1 - 2\sqrt{3} + 3) - 1 + \sqrt{3} - 3 + \sqrt{3}$
$4 - 2\sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} - 3 + \sqrt{3}$
$(4 - 1 - 3) + (-2\sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3})$
$0 + 0 = 0$.
Jadi, $a=1$ juga merupakan solusi yang mungkin.

Jika $a=0$, maka $b = (0-4) + (2-0)\sqrt{3} = -4 + 2\sqrt{3}$.
Persamaan kuadratnya adalah $x^2 + (-4 + 2\sqrt{3}) = 0$.
Cek akar $1 - \sqrt{3}$: 
$(1 - \sqrt{3})^2 + (-4 + 2\sqrt{3})$
$(1 - 2\sqrt{3} + 3) - 4 + 2\sqrt{3}$
$4 - 2\sqrt{3} - 4 + 2\sqrt{3}$
$0 + 0 = 0$.
Jadi, $a=0$ juga merupakan solusi yang mungkin.

Jika $a=4$, maka $b = (4-4) + (2-4)\sqrt{3} = 0 - 2\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$.
Persamaan kuadratnya adalah $x^2 - 4x - 2\sqrt{3} = 0$.
Cek akar $1 - \sqrt{3}$: 
$(1 - \sqrt{3})^2 - 4(1 - \sqrt{3}) - 2\sqrt{3}$
$(1 - 2\sqrt{3} + 3) - 4 + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$
$4 - 2\sqrt{3} - 4 + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$
$(4 - 4) + (-2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3})$
$0 + 0 = 0$.
Jadi, $a=4$ juga merupakan solusi yang mungkin.

Karena $a$ adalah bilangan bulat, dan kita dapat menemukan nilai $b$ yang merupakan bilangan real untuk setiap $a$ sedemikian rupa sehingga $1 - \sqrt{3}$ adalah akar, maka $a$ bisa bernilai bilangan bulat apa saja.

Namun, jika soal ini berasal dari konteks standar di mana akar irasional datang berpasangan jika koefisiennya rasional, maka $a=2$ adalah satu-satunya solusi rasional untuk $a$. Tapi soal secara eksplisit menyebutkan $b$ adalah bilangan real, bukan rasional.

Re-evaluasi dari $(4 - a + b) + (a - 2)\sqrt{3} = 0$. 
Kita membutuhkan $a$ bilangan bulat.
Agar persamaan ini benar, kita dapat mengatur agar koefisien $\sqrt{3}$ menjadi nol, yaitu $a-2=0$, yang memberi $a=2$.
Jika $a=2$, maka $4 - 2 + b = 0$, yang memberikan $b=-2$. Dalam kasus ini, $a=2$ dan $b=-2$. $a$ adalah bilangan bulat, $b$ adalah bilangan real. Ini adalah solusi yang valid.

Jika kita tidak mensyaratkan koefisien $\sqrt{3}$ bernilai nol, maka $b = -(a-2)\sqrt{3} + (a-4)$.
Kita punya $a$ sebagai bilangan bulat.
Jika $a=3$, $b = -(1)\sqrt{3} + (3-4) = -\sqrt{3} - 1$. $a=3$ adalah bilangan bulat, $b$ adalah bilangan real.
Jika $a=1$, $b = -(-1)\sqrt{3} + (1-4) = \sqrt{3} - 3$. $a=1$ adalah bilangan bulat, $b$ adalah bilangan real.

Dengan demikian, untuk setiap bilangan bulat $a$, kita dapat menemukan nilai $b$ sehingga $1-\sqrt{3}$ adalah akar dari $x^2 - ax + b = 0$. 
Nilai $a$ bisa berupa bilangan bulat apapun.

Soal ini tampaknya dirancang untuk menguji pemahaman tentang sifat akar persamaan kuadrat. Biasanya, jika koefisien $a$ dan $b$ keduanya rasional, maka akar irasional datang berpasangan. Namun, di sini $b$ hanya dinyatakan sebagai bilangan real.

Kemungkinan interpretasi lain:
Apakah ada syarat tersembunyi? 'Nilai terbesar a adalah ...'
Ini menyiratkan ada batasan atau beberapa nilai $a$ yang mungkin.

Jika kita kembali ke $(4 - a + b) + (a - 2)\sqrt{3} = 0$. 
Jika $a$ adalah bilangan bulat, dan $b$ adalah bilangan real.

Jika $a=2$, maka $0 + 0 = 0$. $b = -2$. $a=2$ valid.

Jika $a 
eq 2$, maka $(a-2) 
eq 0$. Agar persamaan ini benar, maka $b$ haruslah suatu bilangan real yang membuat seluruh ekspresi menjadi nol.

Kemungkinan besar, soal ini mengasumsikan bahwa jika salah satu akar adalah $p + q\sqrt{r}$ (dengan $p, q, r$ rasional dan $\sqrt{r}$ irasional), dan koefisien persamaan kuadrat adalah rasional, maka akar lainnya adalah $p - q\sqrt{r}$. Di sini, $a$ adalah bilangan bulat (rasional) dan $b$ adalah bilangan real.

Jika kita mengasumsikan $b$ juga rasional, maka $a=2$ adalah satu-satunya solusi.

Namun, jika $b$ bisa irasional, maka seperti yang kita tunjukkan, $a$ bisa berupa bilangan bulat apa saja.

Misalkan soal tersebut memiliki kesalahan penulisan atau asumsi yang tidak dinyatakan. Jika kita harus memilih nilai terbesar $a$, dan setiap bilangan bulat $a$ valid, maka tidak ada nilai terbesar.

Mari kita pertimbangkan kembali apakah ada cara agar $a$ memiliki nilai terbesar.

Jika akar $x_1 = 1 - \sqrt{3}$.
Dan akar $x_2$ membuat $a = 1 - \sqrt{3} + x_2$ menjadi bilangan bulat.
Dan $b = (1 - \sqrt{3}) x_2$ menjadi bilangan real.

Agar $a$ menjadi bilangan bulat, maka $x_2$ haruslah berbentuk $k + m\sqrt{3}$ di mana $k$ dan $m$ adalah bilangan rasional, dan $1 - \sqrt{3} + k + m\sqrt{3} = a$ (bilangan bulat).
$ (1+k) + (m-1)\sqrt{3} = a $.
Agar ini menjadi bilangan bulat, koefisien $\sqrt{3}$ harus nol: $m-1 = 0 	\implies m = 1$.

Jadi, $x_2$ harus berbentuk $k + \sqrt{3}$ untuk suatu bilangan rasional $k$.

Sekarang substitusikan ini ke dalam persamaan $a = (1+k) + (1-1)\sqrt{3} = 1+k$.
Karena $a$ adalah bilangan bulat, maka $1+k$ harus bilangan bulat. Ini berarti $k$ bisa berupa bilangan bulat apa saja.

Jadi, $x_2$ bisa berbentuk $k + \sqrt{3}$, di mana $k$ adalah sembarang bilangan bulat.

Sekarang kita cek syarat untuk $b$: $b = (1 - \sqrt{3}) x_2 = (1 - \sqrt{3})(k + \sqrt{3})$
$b = k + \sqrt{3} - k\sqrt{3} - 3$
$b = (k - 3) + (1 - k)\sqrt{3}$

Karena $k$ adalah bilangan bulat, maka $k-3$ adalah bilangan bulat, dan $1-k$ adalah bilangan bulat.
Jadi, $b$ akan selalu berbentuk bilangan real (dan dalam banyak kasus, irasional).

Jadi, $a = 1+k$, di mana $k$ adalah sembarang bilangan bulat.
Ini berarti $a$ bisa berupa sembarang bilangan bulat.

Ada kemungkinan soal ini memiliki kesalahan atau saya salah menafsirkan kondisi $b$ bilangan real.

Jika diasumsikan bahwa kedua akar harus membentuk koefisien $a$ dan $b$ yang rasional (walaupun $b$ hanya disebut real), maka $a=2$ adalah satu-satunya solusi.

Namun, jika kita harus mencari nilai terbesar $a$, dan setiap bilangan bulat $a$ valid, maka tidak ada nilai terbesar.

Mari kita pertimbangkan kembali $(4 - a + b) + (a - 2)\sqrt{3} = 0$.
Jika kita mengizinkan $b$ sebagai bilangan real apa saja, kita dapat mengatur $b$ untuk 'menetralkan' suku irasional.

Contoh: Jika $a=5$ (bilangan bulat).
$(4 - 5 + b) + (5 - 2)\sqrt{3} = 0$
$(-1 + b) + 3\sqrt{3} = 0$
$b = 1 - 3\sqrt{3}$
Ini adalah bilangan real. Jadi $a=5$ adalah solusi yang valid.

Jika $a=10$ (bilangan bulat).
$(4 - 10 + b) + (10 - 2)\sqrt{3} = 0$
$(-6 + b) + 8\sqrt{3} = 0$
$b = 6 - 8\sqrt{3}$
Ini adalah bilangan real. Jadi $a=10$ adalah solusi yang valid.

Ini berarti $a$ dapat berupa bilangan bulat positif atau negatif apa saja.

Apakah ada kemungkinan 'nilai terbesar a' merujuk pada konteks lain? Seperti akar $x_1$ yang diberikan adalah salah satu dari dua kemungkinan akar, dan kita harus memilih akar yang memberikan nilai $a$ terbesar?

Jika $x_1 = 1 - \sqrt{3}$ atau $x_1 = 1 + \sqrt{3}$? Tidak, soal menyatakan 'salah satu akar adalah $1 - \sqrt{3}$'.

Jika memang setiap bilangan bulat $a$ valid, maka tidak ada nilai terbesar. Ini sangat aneh untuk sebuah soal matematika.

Kemungkinan besar, ada asumsi standar yang berlaku di sini yang saya abaikan karena penekanan pada 'b bilangan real'.

Dalam soal-soal olimpiade atau kompetisi, ketika akar persamaan kuadrat adalah irasional dan koefisiennya adalah bilangan bulat/rasional, maka akar pasangannya adalah sekawan.

Jika kita menganggap bahwa 'b bilangan real' seharusnya 'b bilangan rasional' (atau setidaknya 'b tidak membatasi a'), maka $a=2$ adalah satu-satunya solusi.

Namun, jika kita harus mencari nilai terbesar $a$ dan $a$ bisa berupa bilangan bulat apa saja, maka soal ini cacat.

Mari kita pertimbangkan kasus di mana $a$ memiliki nilai terbesar.
Jika kita punya $x^2 - ax + b = 0$, dan salah satu akar adalah $1 - \sqrt{3}$.
Kita tahu $a = x_1 + x_2 = 1 - \sqrt{3} + x_2$.
Dan $a$ adalah bilangan bulat.

Jika $x_2 = k + m\sqrt{3}$ (dengan $k, m$ rasional).
$a = 1 - \sqrt{3} + k + m\sqrt{3} = (1+k) + (m-1)\sqrt{3}$.
Agar $a$ menjadi bilangan bulat, $m-1=0$, sehingga $m=1$.
$a = 1+k$.
Karena $k$ adalah rasional, maka $a$ bisa berupa bilangan rasional apa saja. Tetapi $a$ harus bilangan bulat.
Jadi $1+k$ harus bilangan bulat. Ini berarti $k$ bisa berupa bilangan bulat apa saja.
Jadi $a$ bisa berupa sembarang bilangan bulat.

Ini mengarah kembali ke kesimpulan bahwa jika $b$ bisa bilangan real apa saja, maka $a$ bisa sembarang bilangan bulat.

Satu-satunya cara agar ada 'nilai terbesar a' adalah jika ada batasan pada $a$ atau $b$ yang tidak disebutkan secara eksplisit, atau jika ada interpretasi yang lebih sempit dari 'b bilangan real'.

Jika soal ini berasal dari sumber yang mengasumsikan koefisien rasional, maka $a=2$.
Jika tidak, dan kita harus mengambil 'nilai terbesar a' maka tidak ada jawaban.

Saya akan berpegang pada interpretasi standar soal semacam ini, di mana jika satu akar adalah $p+q	extrm{sqrt}(r)$, maka akar lainnya adalah $p-q	extrm{sqrt}(r)$ jika koefisiennya rasional.

Di sini, $a$ adalah bilangan bulat (rasional). Jika kita mengasumsikan $b$ juga rasional, maka akar lainnya adalah $1+	extrm{sqrt}(3)$.
$a = (1 - 	extrm{sqrt}(3)) + (1 + 	extrm{sqrt}(3)) = 2$.
$b = (1 - 	extrm{sqrt}(3))(1 + 	extrm{sqrt}(3)) = 1 - 3 = -2$.
Nilai $a=2$ adalah bilangan bulat dan $b=-2$ adalah bilangan real. Ini konsisten.

Apakah ada kemungkinan lain?
Jika $x_2$ adalah akar lain.
$x^2 - ax + b = 0$.
$a = x_1 + x_2 = 1 - \sqrt{3} + x_2$.
$b = x_1 x_2 = (1 - \sqrt{3}) x_2$.

Karena $a$ adalah bilangan bulat, $x_2$ haruslah $x_2 = (a - 1) + \sqrt{3}$ agar $a$ menjadi bilangan bulat.
$x_2 = (a - 1) + \sqrt{3}$.

Jika $a=3$, $x_2 = 2 + \sqrt{3}$.
$b = (1 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2 + \sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 3 = -1 - \sqrt{3}$.
Ini valid.

Jika $a=4$, $x_2 = 3 + \sqrt{3}$.
$b = (1 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3}) = 3 + \sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 3 = -2\sqrt{3}$.
Ini valid.

Jadi, $a$ bisa berupa bilangan bulat apa saja. Jika demikian, tidak ada nilai terbesar.

Namun, jika ada satu akar irasional seperti $1 - \sqrt{3}$, dan $a$ adalah bilangan bulat, maka biasanya $b$ juga diharapkan rasional.

Jika $a$ adalah bilangan bulat, $b$ adalah bilangan real, dan $1-\sqrt{3}$ adalah akar.
$(4-a+b) + (a-2)\sqrt{3} = 0$.
Untuk $a$ bilangan bulat.
Jika $a=2$, maka $b=-2$. $a=2$ valid.

Jika $a 
eq 2$, maka $\sqrt{3} = -(4-a+b)/(a-2)$.
Karena sisi kanan adalah rasional (jika $b$ rasional), maka ini hanya mungkin jika sisi kanan adalah nol, yang berarti $a-2=0$, kontradiksi.
Atau jika $\sqrt{3}$ bisa diekspresikan sebagai rasional, yang tidak benar.

Jadi, jika $b$ adalah rasional, maka $a=2$ adalah satu-satunya solusi.

Tetapi karena $b$ adalah bilangan real, kita harus mengizinkan $b$ menjadi irasional.
Dalam kasus $(4 - a + b) + (a - 2)\sqrt{3} = 0$, jika $a$ adalah bilangan bulat, kita bisa memilih $a$ apapun. Untuk setiap $a$, kita dapat mengatur $b = (a - 4) - (a - 2)\sqrt{3}$.
Karena $a$ adalah bilangan bulat, maka $a-4$ dan $a-2$ adalah bilangan bulat. Maka $b$ adalah bilangan real.

Jadi, $a$ dapat berupa bilangan bulat apa saja. Tidak ada nilai terbesar.

Saya curiga ada kesalahan dalam pemahaman soal atau soal itu sendiri.
Namun, jika saya harus memberikan jawaban berdasarkan pemahaman umum soal matematika seperti ini, maka seringkali diasumsikan $b$ rasional jika $a$ rasional.
Dalam kasus itu, $a=2$. Tetapi ini tidak memberikan 'nilai terbesar'.

Jika memang $a$ bisa bilangan bulat apa saja, maka mungkin ada konteks lain.

Misalkan ada akar lain $x_2$. Maka $a = x_1 + x_2$. $a$ bilangan bulat.
$x_1 = 1 - \sqrt{3}$.
$x_2 = a - x_1 = a - (1 - \sqrt{3}) = (a-1) + \sqrt{3}$.
Agar $x_2$ menjadi akar, ia harus memenuhi $x_2^2 - ax_2 + b = 0$.
$b = x_1 x_2 = (1 - \sqrt{3}) ((a-1) + \sqrt{3}) = (a-1) + \sqrt{3} - (a-1)\sqrt{3} - 3 = (a-4) + (1 - (a-1))\sqrt{3} = (a-4) + (2-a)\sqrt{3}$.
Karena $b$ adalah bilangan real, ini selalu benar untuk setiap bilangan bulat $a$. 

Tidak ada batasan untuk $a$.

Namun, jika soal berasal dari sumber yang menekankan sifat akar irasional pada polinomial dengan koefisien rasional, maka: 
Jika $1-\sqrt{3}$ adalah akar dari $x^2 - ax + b = 0$ di mana $a$ dan $b$ rasional, maka $1+\sqrt{3}$ juga harus menjadi akar.
Dalam kasus ini, $a = (1-\sqrt{3}) + (1+\sqrt{3}) = 2$. $b = (1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3}) = 1-3 = -2$.
$a=2$ adalah bilangan bulat. $b=-2$ adalah bilangan real (dan rasional).

Jika soal ini benar-benar 'nilai terbesar a', dan kita telah menunjukkan bahwa $a$ bisa menjadi bilangan bulat apa saja, maka ada sesuatu yang terlewat.

Jika kita melihat kembali $(4 - a + b) + (a - 2)\sqrt{3} = 0$.
Kita perlu mencari nilai terbesar $a$ (bilangan bulat) sehingga ada $b$ (bilangan real) yang memenuhi.

Jika $a=2$, maka $0 + 0 = 0$. $b=-2$. (Valid)
Jika $a 
eq 2$, maka kita bisa memilih $b = (a-4) - (a-2)\sqrt{3}$. Ini selalu merupakan bilangan real.

Jadi, setiap bilangan bulat $a$ adalah solusi yang mungkin.

Kemungkinan yang sangat kecil adalah soal ini berasal dari konteks yang lebih luas yang membatasi $a$ atau $b$ tanpa menyatakannya secara eksplisit.

Jika saya dipaksa untuk memilih 'nilai terbesar a', dan saya telah membuktikan bahwa $a$ bisa sembarang bilangan bulat, maka ada kemungkinan soal ini menguji pemahaman tentang apa yang terjadi ketika koefisiennya tidak rasional.

Jika $a=2$, maka $a$ adalah bilangan bulat, $b=-2$ adalah bilangan real.
Jika $a=3$, maka $b=-1-	extrm{sqrt}(3)$ adalah bilangan real.
Jika $a=4$, maka $b=-2	extrm{sqrt}(3)$ adalah bilangan real.
Jika $a=5$, maka $b=-3-2	extrm{sqrt}(3)$ adalah bilangan real.

Tidak ada nilai terbesar.

Jika ada kesalahan pengetikan dalam soal, misalnya 'nilai terkecil a', atau 'nilai a', maka jawaban bisa berbeda.

Saya akan mengasumsikan bahwa ada kesalahan dalam pertanyaan dan seharusnya $b$ adalah bilangan rasional, sehingga $a=2$ adalah satu-satunya solusi yang mungkin.
Tetapi jika memang 'nilai terbesar a', dan $b$ adalah bilangan real, maka tidak ada jawaban.

Saya akan memberikan jawaban berdasarkan asumsi bahwa $a=2$ adalah solusi yang dicari, meskipun itu tidak menjelaskan 'nilai terbesar'.

Jika ada kemungkinan lain:
Misalkan $1-\sqrt{3}$ adalah salah satu akar dari $x^2 - ax + b = 0$.
Dan $a$ adalah bilangan bulat.
$b$ adalah bilangan real.

Jika $a=3$, maka $x^2 - 3x + b = 0$. Akar-akarnya adalah $x = rac{3 indall{	extrm{pm}} 	extrm{sqrt}(9-4b)}{2}$.
Kita ingin salah satu akar adalah $1-\sqrt{3}$.

Jika $rac{3 + 	extrm{sqrt}(9-4b)}{2} = 1-\sqrt{3}$.
$3 + 	extrm{sqrt}(9-4b) = 2 - 2\sqrt{3}$.
$	extrm{sqrt}(9-4b) = -1 - 2\sqrt{3}$. Ini tidak mungkin karena akar kuadrat tidak negatif.

Jika $rac{3 - 	extrm{sqrt}(9-4b)}{2} = 1-\sqrt{3}$.
$3 - 	extrm{sqrt}(9-4b) = 2 - 2\sqrt{3}$.
$-	extrm{sqrt}(9-4b) = -1 - 2\sqrt{3}$.
$	extrm{sqrt}(9-4b) = 1 + 2\sqrt{3}$.
Kuadratkan kedua sisi:
$9 - 4b = (1 + 2\sqrt{3})^2 = 1 + 4\sqrt{3} + 4(3) = 1 + 4\sqrt{3} + 12 = 13 + 4\sqrt{3}$.
$-4b = 4 + 4\sqrt{3}$.
$b = -1 - \sqrt{3}$.
Ini konsisten dengan apa yang kita temukan sebelumnya ($a=3$, $b=-1-\sqrt{3}$).

Semua bilangan bulat $a$ bisa menjadi solusi. Tidak ada nilai terbesar.

Saya curiga ada kesalahan dalam soal. Jika saya harus memilih jawaban, dan mengasumsikan bahwa ada kesalahan pengetikan dan seharusnya ada batasan, atau ada interpretasi yang lebih ketat.

Jika saya melihat soal serupa, seringkali ada penekanan pada koefisien rasional.
Jika saya harus menebak, maka ini adalah soal yang cacat karena tidak ada nilai terbesar a jika b bisa bilangan real apa saja.

Namun, jika saya harus memilih nilai integer terbesar $a$ yang memungkinkan $b$ menjadi bilangan real, dan $1-\sqrt{3}$ adalah salah satu akarnya, maka tidak ada batasan atas untuk $a$.

Saya akan berpegang pada fakta bahwa $a$ adalah bilangan bulat. Dan $b = (a-4) + (2-a)\sqrt{3}$.
Jika $a=2$, $b=-2$. $a=2$ adalah bilangan bulat.
Jika $a=3$, $b=-1-\sqrt{3}$. $a=3$ adalah bilangan bulat.
Jika $a=100$, $b=(96) + (-98)\sqrt{3}$. $a=100$ adalah bilangan bulat.

Jadi, tidak ada nilai terbesar $a$.

Satu-satunya cara ada nilai terbesar $a$ adalah jika ada batasan lain.
Misalnya, jika $b$ harus non-negatif? $b = (a-4) + (2-a)\sqrt{3} 
less 0$. Ini akan membatasi $a$.

Atau jika ada akar lain $x_2$ yang membuat $a$ terbesar.
$a = x_1 + x_2 = 1 - \sqrt{3} + x_2$.
$a$ bilangan bulat.
$x_2 = (a-1) + \sqrt{3}$.

Jika kita menafsirkan 'nilai terbesar a' dalam konteks di mana $a$ mungkin memiliki beberapa nilai diskrit karena batasan pada $b$, maka ini akan masuk akal.

Tanpa batasan tambahan, soal ini tidak memiliki jawaban.

Saya akan mengasumsikan ada kesalahan dan soal ini menguji pemahaman bahwa jika koefisien rasional, maka akar sekawan berlaku. Sehingga $a=2$. Namun ini tidak menjawab 'nilai terbesar'.

Saya tidak dapat menemukan 'nilai terbesar a' dengan informasi yang diberikan.

Jika saya harus memberikan jawaban, saya akan menyatakan bahwa tidak ada nilai terbesar $a$ jika $b$ bisa bilangan real apa saja.

Namun, jika soal ini berasal dari ujian dan memiliki jawaban, maka interpretasi standar (koefisien rasional -> akar sekawan) haruslah yang dimaksud. Tetapi itu tidak memberikan 'nilai terbesar'.

Saya akan mengajukan kemungkinan bahwa soal ini salah atau tidak lengkap.

Jika soalnya adalah 'Nilai a adalah ....', maka jawabannya adalah 2 (dengan asumsi $b$ rasional).

Karena ada kata 'terbesar', dan kita telah menunjukkan bahwa $a$ bisa sembarang bilangan bulat, maka tidak ada nilai terbesar.

Saya akan memberikan jawaban yang menyatakan bahwa tidak ada nilai terbesar $a$ berdasarkan informasi yang diberikan.

Jika ada kesalahan penulisan dan seharusnya 'nilai a adalah', maka jawabannya 2.
Jika ada kesalahan pengetikan dan seharusnya 'nilai terbesar dari ... jika $b$ adalah bilangan rasional', maka jawabannya 2.

Karena soal meminta 'nilai terbesar a', dan setiap bilangan bulat $a$ adalah valid, saya harus menyatakan bahwa tidak ada nilai terbesar.

Saya akan coba berikan jawaban yang paling mungkin jika soal ini valid, meskipun saya tidak yakin.

Kemungkinan: Jika $a$ adalah bilangan bulat, dan $b$ adalah bilangan real, dan akar adalah $1-\sqrt{3}$.
Kita punya $a = (1+k)$ dimana $k$ adalah sembarang bilangan bulat, dan $x_2 = k+\sqrt{3}$.
$a$ bisa sembarang bilangan bulat.

Jika soalnya benar, mungkin ada batasan implisit pada $b$ yang tidak disebutkan.

Saya akan memberikan jawaban bahwa tidak ada nilai terbesar $a$ jika $b$ dapat berupa bilangan real apa saja.